基于創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)的把課堂還給學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐

張享發(fā)　戴陳敏

【摘 要】本文闡明創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)的課堂教學(xué)方法的內(nèi)涵，以“直線與雙曲線位置關(guān)系”為例，闡述創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)的課堂教學(xué)方法的具體應(yīng)用，創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)課堂，通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)向、實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)，把課堂的時(shí)間、空間、個(gè)性還給學(xué)生。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)課堂 創(chuàng)課導(dǎo)學(xué) 再創(chuàng)造 問(wèn)題導(dǎo)向 實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)

【中圖分類號(hào)】G ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2020）04B-0109-03

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（1905—1990）認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)方法的核心是學(xué)生的‘再創(chuàng)造。”他認(rèn)為在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該提供適合作為知識(shí)載體的具體情境，使學(xué)生通過(guò)實(shí)踐探究，自己“再創(chuàng)造”出概念、法則、定理、公理等數(shù)學(xué)知識(shí)。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年）》指出，現(xiàn)代信息技術(shù)要“致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂(lè)意并有更多的精力投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去”。因此，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生“再創(chuàng)造”的教學(xué)環(huán)境，把課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生真正成為課堂的主人，是擺在數(shù)學(xué)教師面前的新課題。

創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)是基于廣西師范大學(xué)唐劍嵐博士數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課的觀點(diǎn)開(kāi)展的課堂教學(xué)方法。依據(jù)高中數(shù)學(xué)創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)的課堂教學(xué)方法，在日常的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，借助信息技術(shù)、實(shí)物教具等實(shí)驗(yàn)工具可以創(chuàng)設(shè)一個(gè)讓學(xué)生“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境，通過(guò)關(guān)鍵問(wèn)題的導(dǎo)向，讓學(xué)生在動(dòng)手“實(shí)驗(yàn)”的過(guò)程中經(jīng)歷觀察、猜想、推理等科學(xué)方法，主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，養(yǎng)成“用數(shù)學(xué)”的習(xí)慣，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。現(xiàn)以具體的教學(xué)案例對(duì)此進(jìn)行闡述。

一、研究的主要問(wèn)題

〖問(wèn)題 1〗過(guò)點(diǎn)（0，1）可以作幾條直線與雙曲線 4x2-y2=4 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)？

〖問(wèn)題 2〗過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線與雙曲線 4x2-y2=4 的交點(diǎn)有幾種情況？

〖問(wèn)題 3〗若直線 l 過(guò)定點(diǎn)（，0），雙曲線：x2-2y2=2。（1）若直線 l 與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線 l 的方程;（2）若直線 l 分別與雙曲線的兩支各有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線 l 斜率的取值范圍。

二、重難點(diǎn)突破辦法

將教室虛擬為實(shí)驗(yàn)室，借助圖形計(jì)算器、iPad、希沃電子白板等工具構(gòu)建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，讓學(xué)生圍繞課堂核心問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)。猜想交點(diǎn)的圖形特征，積累分析交點(diǎn)特征的實(shí)驗(yàn)猜想經(jīng)驗(yàn)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)動(dòng)手操作、合作探究、感悟思想、建構(gòu)知識(shí)。

三、教學(xué)模式

創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)的基本模式是：?jiǎn)栴}—實(shí)驗(yàn)—解惑。

四、教學(xué)過(guò)程

〖問(wèn)題 1〗

[師]前面我們用什么方法判定直線與橢圓的位置關(guān)系？

[生]首先，幾何方法，通過(guò)圖象觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù);其次，代數(shù)方法，聯(lián)立方程組分析根的個(gè)數(shù)。

[師]如何用幾何方法判斷過(guò)點(diǎn)（0，1）可以作幾條直線與雙曲線 4x2-y2=4 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)？

〔學(xué)生活動(dòng)〕大家都嘗試在紙上畫出過(guò)已知點(diǎn)的直線以及相應(yīng)的雙曲線的示意圖。由于多數(shù)同學(xué)所畫的雙曲線沒(méi)有突出雙曲線有兩條漸近線的圖形特征，因此通過(guò)示意圖很難直觀判斷交點(diǎn)情況。教師隨堂巡視，進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)。

學(xué)生先在紙上徒手畫圖，發(fā)現(xiàn)無(wú)法準(zhǔn)確判斷交點(diǎn)情況后，再借助圖形計(jì)算器或 iPad 進(jìn)行探究求證。通過(guò)直線斜率的變化觀察直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，找出符合條件的直線。充分交流后形成如下結(jié)論：

1.過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線主要由斜率 k 決定。

2.當(dāng)直線斜率 k 與雙曲線的漸近線不平行時(shí)，分別與左支、右支曲線各有 1 條直線滿足條件（通過(guò)圖形計(jì)算器、iPad，改變直線的斜率，觀察驗(yàn)證）。

3.當(dāng)直線斜率 k 與雙曲線的漸近線平行時(shí)，分別與左支、右支曲線各有 1 條直線滿足條件（通過(guò)圖形計(jì)算器、iPad，改變直線的斜率，觀察驗(yàn)證）。

4.示意圖如圖 1 所示。

[師]利用代數(shù)方法求解時(shí)，能否分別求出這四條直線的斜率？

〔學(xué)生活動(dòng)〕嘗試聯(lián)立直線與雙曲線的方程組進(jìn)行求解，利用二次項(xiàng)系數(shù)等于零以及判別式等于零，分別求出對(duì)應(yīng)斜率的個(gè)數(shù)，最后相互驗(yàn)證幾何方法、代數(shù)方法所得出的結(jié)論。

歸納總結(jié)：（1）過(guò)定點(diǎn)的直線，主要由斜率來(lái)確定位置，通過(guò)斜率的變化能形成直線束;（2）判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，先要明確直線斜率與雙曲線漸近線的位置關(guān)系;（3）聯(lián)立方程組既可以判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，又可以明確交點(diǎn)的坐標(biāo)。

〖問(wèn)題 2〗

[師]通過(guò)剛才的實(shí)驗(yàn)，直線與雙曲線有哪幾種交點(diǎn)的情況？

[生]有三種情況，無(wú)交點(diǎn)，1 個(gè)交點(diǎn)，2 個(gè)交點(diǎn)。

[師]這三種情況下交點(diǎn)的分布有哪幾類？

[生]沒(méi)有交點(diǎn)，左支一個(gè)，右支一個(gè)，左支兩個(gè)，右支兩個(gè)，左右各一個(gè)。

實(shí)驗(yàn)探究：過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線與雙曲線 4x2-y2=4 的交點(diǎn)有幾種情況？請(qǐng)利用圖形計(jì)算器或 iPad 進(jìn)行分析總結(jié)：隨著直線斜率的變化，直線與雙曲線的交點(diǎn)的變化情況。記錄并填入下表，并用圖形計(jì)算器演示對(duì)應(yīng)的各種圖象。

〔學(xué)生活動(dòng)〕利用圖形計(jì)算器或 iPad，通過(guò)改變直線的斜率，觀察交點(diǎn)的變化，并進(jìn)行記錄。除了以上的只有一個(gè)交點(diǎn)的情況外，有兩個(gè)交點(diǎn)的情形分別是圖 3，圖 4，圖 5，沒(méi)有交點(diǎn)的情況如圖 2。

按照斜率從小到大的次序歸納 k 的取值范圍與交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，如下：

過(guò)定點(diǎn)（，0）的直線 l 與雙曲線 x2-2y2=2 的各種交點(diǎn)的情況，可通過(guò)旋轉(zhuǎn)直線 l 來(lái)實(shí)現(xiàn)（如圖 6 所示）。

歸納總結(jié)：根據(jù)圖形計(jì)算器圖象中交點(diǎn)的變化情況，可以發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的變化，其規(guī)律為：沒(méi)有交點(diǎn)——右支 1 個(gè)—— 右支 2 個(gè)—— 右支 1 個(gè)—— 左右各 1 個(gè)—— 左支 1 個(gè)—— 左支 2 個(gè)—— 左支 1 個(gè)—— 沒(méi)有交點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的時(shí)候，主要是直線斜率在變化。

〖問(wèn)題 3〗

學(xué)生利用之前的探究成果獨(dú)立解題，然后小組交流，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成效。

[第（1）問(wèn)]

方法一：幾何法。通過(guò)雙曲線方程可以得出定點(diǎn)（，0）正好是雙曲線的右頂點(diǎn)，通過(guò)作圖（如圖 7 所示）可以看出，直線與雙曲線相切或者與漸近線平行時(shí)都是只有一個(gè)交點(diǎn)，容易確定直線方程。

方法二：代數(shù)法。當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線 l 為 ?符合題意;當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為 ，聯(lián)立直線與雙曲線的方程組，利用判別式等于零，即可求出直線的方程。

[第（2）問(wèn)]同學(xué)們鞏固解題方法，加深對(duì)兩種方法的理解與認(rèn)識(shí)。

歸納總結(jié)：通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，幾何法講究數(shù)形結(jié)合，通過(guò)作圖，觀察圖形變化的特點(diǎn)，能快速解決交點(diǎn)問(wèn)題。代數(shù)方法則通過(guò)聯(lián)立方程組，通過(guò)二次項(xiàng)系數(shù)為零或者二次方程的根來(lái)確定方程組的根，進(jìn)而確定交點(diǎn)的坐標(biāo)及交點(diǎn)個(gè)數(shù)，兩種方法，各有優(yōu)劣。

五、教后總結(jié)

本案例是基于高中數(shù)學(xué)創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)的課堂教學(xué)實(shí)踐，較為成功地展示創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)“問(wèn)題導(dǎo)向，實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)”的課堂教學(xué)理念。本案例依托現(xiàn)代信息技術(shù)，借助圖形計(jì)算器、iPad、希沃電子白板等工具構(gòu)建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，圍繞課堂核心問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)課堂，通過(guò)開(kāi)展實(shí)驗(yàn)探究，把數(shù)學(xué)課堂還給學(xué)生。主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

（一）把課堂的時(shí)間還給學(xué)生。高中數(shù)學(xué)創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)以幫助學(xué)生解惑、提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為根本任務(wù)。在本案例中，“創(chuàng)課”從設(shè)置系列背景問(wèn)題開(kāi)始，借助實(shí)驗(yàn)工具，通過(guò)實(shí)驗(yàn)、演示、推導(dǎo)，不斷讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐。學(xué)生在實(shí)踐過(guò)程中動(dòng)腦、動(dòng)心、動(dòng)情、動(dòng)手，并在探究過(guò)程中掌握類比、觀察、猜想等學(xué)習(xí)方法。在導(dǎo)學(xué)過(guò)程中，始終將學(xué)生置于研究者、探索者的位置。學(xué)習(xí)探索需要過(guò)程，有過(guò)程就需要時(shí)間。在學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)探索、合作探究中，我們既要確保學(xué)生學(xué)習(xí)的時(shí)間，又要把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)得到增加，數(shù)學(xué)能力得到提高。

（二）把課堂的空間還給學(xué)生。高中數(shù)學(xué)創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)以“問(wèn)題導(dǎo)向，實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)”為設(shè)計(jì)理念，重視科學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的引導(dǎo)。在本案例的課堂教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷遇到實(shí)際問(wèn)題、創(chuàng)設(shè)情境、實(shí)驗(yàn)探究、小組合作、歸納結(jié)論等過(guò)程，使學(xué)生靈活運(yùn)用觀察、分析、歸納等科學(xué)方法。學(xué)生圍繞“問(wèn)題”“實(shí)驗(yàn)”探究的過(guò)程是一個(gè)主動(dòng)參與課堂學(xué)習(xí)的過(guò)程，有實(shí)踐、有交流、有質(zhì)疑、有展示、有體驗(yàn)，在規(guī)律形成的總結(jié)中發(fā)展了學(xué)生的思維空間，在實(shí)驗(yàn)成果的匯報(bào)中鍛煉了學(xué)生的表現(xiàn)空間。

（三）把課堂的個(gè)性還給學(xué)生。高中數(shù)學(xué)創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)注重培養(yǎng)學(xué)生的個(gè)性化思維。創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)的課堂教學(xué)過(guò)程提倡的是充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，發(fā)揮學(xué)生的自主能動(dòng)性。在本案例的教學(xué)中，圍繞核心問(wèn)題，開(kāi)展實(shí)驗(yàn)探究。學(xué)生動(dòng)手操作，并經(jīng)歷獨(dú)立思考、獨(dú)特感悟、自由聯(lián)想、自由表達(dá)的過(guò)程。實(shí)驗(yàn)探究的過(guò)程，既是交流合作的過(guò)程，又是知識(shí)生成的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，會(huì)有問(wèn)題分析的異中求同，也會(huì)有問(wèn)題解決的成功體驗(yàn)，學(xué)生的個(gè)性化思維得到發(fā)展，使學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中感悟思想，在體驗(yàn)中建構(gòu)知識(shí)。

【參考文獻(xiàn)】

[l]唐劍嵐，黃一娉，黃夢(mèng)遠(yuǎn).基于5E學(xué)習(xí)環(huán)和HP工具的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課設(shè)計(jì)：以《函數(shù)圖象變換》的教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)周報(bào)，2016（9）.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1995.

（責(zé)編 盧建龍）