整體思考 聚焦核心 提升素養
——“圖形的運動”畢業總復習的教學思考與研究

浙江杭州市蕭山區東片教育指導中心 葉國苗

畢業總復習是小學數學教學過程中的最后一環，它承載著回顧知識、整理結構、形成網絡、提升能力、發展思維的獨特功能，還能順利完成中小學數學知識的銜接。

“圖形的運動”這一知識點在小學數學中主要安排了四個板塊：二年級下冊安排軸對稱圖形的認識，平移、旋轉的認識；四年級下冊要求畫出軸對稱圖形的另一半以及平移后的圖形；五年級下冊要求能具體地描述圖形的旋轉，根據旋轉的角度畫出旋轉后的圖形；六年級下冊在比例單元中安排了圖形的擴大與縮小。筆者認為，要把這四個板塊的內容整合到一節課中進行系統的整理與復習，需要對其進行整體思考，著力構建知識體系。

一、整體思考復習要素

長期以來，教學總復習普遍呈現了“冷飯重炒”的傾向，實踐中一些教師發出了復習課難上的感慨。這給我們研究總復習提出了思考與分析，教學中要立足于“促進學生發展”的理念，努力追尋符合課改精神的目標。

1.尋找合理的教學目標體系

教學目標指導一節課的靈魂，準確把握“圖形的運動”復習課需要關注兩點：一是要全面了解和把握“圖形的運動”的知識點，明確四大板塊中原來已經達成的教學目標，準確把握學生遇到的困難與疑惑。二是要正確認識“圖形的運動”教材編排的規律，從圖形運動的感知到動手畫出軸對稱圖形再到根據角度畫出旋轉后的圖形，最后根據比例來畫出擴大與縮小的圖形。

基于上述思考并結合六年級的要求可以整體架構教學目標：一是在知識整理的過程中，進一步認識平面圖形中存在平移、旋轉、翻折的運動現象；二是建構起圖形運動知識體系，明確知識的來龍去脈；三是了解圖形運動時的變與不變的規律與性質；四是會用圖形平移、旋轉、翻轉運動（軸對稱）揭示數學問題并進行簡單的應用。

2.尋找同類知識間的共性

將共性的或同類型的知識通過類比串在一起，既能揭示共性，又能突出各自的特點，從而提高學生的記憶能力、理解能力和運用能力。小學數學教學中的圖形運動只研究平面上圖形運動及運動后所形成的圖形，在整體認識圖形的運動后，分別在三個年級安排了動手實踐環節，畫出平移、旋轉、擴大（縮小）后的圖形。在復習時，教師要讓學生再現這三種圖形的變換，進一步通過觀察、思考、類比，在不同的運動中尋找相同的地方，感受數學中變與不變的思想；引導學生質疑“不一樣的運動方式，其運動的核心要素是什么”“明確運動前后的圖形什么變了，什么沒有發生變化”，溝通四種運動之間的內在聯系，構建圖形運動的整體框架（如圖1）。

圖1

3.尋找不同知識間的聯系

著名數學教授鄭毓信指出：數學基礎知識的學習，不應求全，而應求聯。因此，數學學習要注重知識之間的內在聯系，構建起整體性的知識系統，特別是要尋找不同知識間的內在聯系，從而構建起學習的網絡。

“圖形的運動”復習中，要根據學生的認知起點適度開發一些學習素材，拓展、改變數學例題與習題，引導學生通過聯想、思考感受圖形變換的深層次知識的應用，如平面圖形面積公式的推導、通過平移旋轉求圖形的面積等，充分理解圖形與圖形運動中知識間的聯系，提高學生多角度、多途徑來分析、解決問題的能力（如圖2），初步形成“以聯系的眼光研究數學、分析數學”的意識與能力。

圖2

二、整體把握復習結構

在畢業復習課中，“復習什么”比“怎樣復習”更重要。我們要立足教材內容，著眼學生需求，根據知識結構和學生的認知基礎將復習內容有針對性地進行梳理，突出重點、把握難點，以提高目標的達成度。

1.架構知識體系

四十分鐘的一節課，要把四個板塊的知識點進行有效的復習，教師需要對整個知識體系進行系統的梳理，教學時引導學生通過自主復習、合作交流對所涉及的內容進行一次整理與優化。我們可以采取“前測反饋—分析優化—比較歸納—解決問題”的教學思路，讓學生利用表格整理這部分內容的“知識結構圖”，發揮“溫舊知、明聯系”的作用。

2.聚焦核心內容

“圖形的運動”是圖形與幾何中一個重要的內容，教材在練習中安排了作圖、操作利用比例知識進行面積計算等知識點，通過具體的情景把三種圖形的運動整合起來，使知識結構化、完整性地呈現出來，有利于培養學生的空間觀念，這就是本節課復習的核心內容。因此，復習時要引導學生努力尋找本節課的核心知識、探尋各知識之間的區別與聯系，達到復習的基本目的和要求。

3.抓典型錯誤

畢業復習課的一項重要功能是幫助學生查漏補缺。我們要積極利用前測了解學生在哪些知識上有學習障礙，哪些地方存在學習漏洞，充分利用前測中學生的典型錯例，在分析與交流中暴露學生的思維水平。

如畫出兩次平移后的圖形需要借助第一次平移或分別平移（如圖3），放大的圖形只有一條邊按2∶1放大（如圖4）。在學生辨析、討論和修改的過程中，讓學生利用點的平移畫出兩次平移后的最終圖形；通過對圖形形狀的判斷，明確圖形放大的本質。

圖3

圖4

三、整體實施復習內容

在復習中，我們都有共識，“知識梳理”與“習題訓練”是一節復習課的兩翼，通過知識梳理，引導學生理清知識脈絡，明確各知識點的核心內容；通過系統訓練，幫助學生提升知識技能，發展思維品質。

（一）自主梳理，形成結構

我們認為復習課的一個重要任務就是引導學生將各個年級所學的知識進行系統的梳理。板塊式的內容可以建構網絡；散狀式的知識可以溝通聯系。

1.自主回憶，再現知識

知識梳理是復習課的重要環節。通過翻閱書本、大腦回憶，將一些曾經遺忘的知識進行提取和再現，為進一步運用知識來解決問題埋下伏筆。

課始，多媒體出示圖例（如圖5），教師設疑：這三幅圖包含了怎樣的圖形運動？組織學生從圖形的結構、樣態進行一個動態、靜態的思考，逐漸梳理出小學階段所學的四種圖形變化：平移、旋轉、軸對稱、放大與縮小。然后組織學生分別說說這些圖形中哪里用到了平移、旋轉、軸對稱、放大與縮小。這樣的環節安排自然、合理，使學生能一下子聚焦到本節課所要復習的內容上，有利于在大腦中建構知識網絡。

圖5

2.構建網絡，甄別異同

復習能把零散的知識點通過整理串成一條線，能清晰地感受到知識間的聯系與區別。完成第一個教學環節后，我們可以引導學生從圖形的形狀、大小、位置、要素等角度進行思考，并用表格的形式呈現出來，便于知識的分類、系統整理，方便比較和溝通。通過這樣的環節，學生不僅能清晰地理解四種運動方式的特征，知道各種運動間的異同點，還能在知識整理的過程形成知識網絡、提升整理意識。

圖形變換 變換的特征 變換的注意點形狀 大小 位置平移 不變 不變 變 方向、距離旋轉 不變 不變 變 中心點、方向、角度放大（縮小） 不變 變 變 比例關系軸對稱 對折后兩邊完全重合

（二）精心編題，提升能力

知識的習得都需要一定量的練習，我們的練習設計既要鞏固已學的知識，又要尋找知識點背后的思想與方法，這樣才能快速提升學生的學習力。

1.尋找原點，把握本質

總復習課的練習要整體關注知識的結構，重視知識的綜合運用。在復習題的設計中，要尋找到與核心知識點相關聯的內容，整體性地呈現在學生面前。隨后，出示五年級上冊平面圖形面積的推導方式，組織學生寫出陰影部分的運動方式（如圖6）。

圖6

在教學三類平面圖形面積推導的過程中，教師往往較多地關注數學的轉化思想，很少關注在轉化思想的背后是圖形運動所產生的一種結果，其核心就是“平面圖形幾何運動時的不變量”。

我們認為：圖形運動的重要特性是通過運動之后圖形的形狀和大小保持不變，割補法就是這一特性的使用。站在圖形運動的角度重新審視面積的推導過程，讓學生有一種豁然開朗的感覺，往往能抓住問題本質，體會轉化法的內涵。

2.辨析練習，拓寬思維

復習鞏固時，設計一些專項的對比性練習有利于學生在類比、辨析中把握知識內涵，提升思維品質。筆者認為，可以繼續借助圖形的面積計算來進行深化，設計如下兩題：（1）如圖7，某小學有一個長34米，寬21米的花海，如果花海的中間修2條小路，小路的寬度是1米，求花海的面積是多少平方米。（2）如圖8，求出圖中陰影部分的面積。

圖7

圖8

我們發現，第（1）題可以讓學生嘗試練習計算，然后比較兩種方法（如圖9）。在對比中學生會發現第二個方法較為簡便，然后教師追問為什么，學生自然會想到運用了圖形的平移方式來解決；而第（2）題要巧妙解決需利用圖形的旋轉（或對稱）來解決。通過這樣的練習，讓學生充分感受到圖形的運動在解決實際問題中的廣泛運用。

圖9

3.分層練習，尊重差異

學生的認知能力具有一定的差異性，教師應該充分尊重這種差異性，設計有一定梯度性和開放性的題目來滿足不同層次學生的發展需求。如探索圖形之間的變換關系，可以出示書本習題（如圖10），組織學生思考：仔細觀察涂色部分，你有什么發現？讓學生能根據圖形的組成和圖形的運動變化進行分析，發現四個圖的涂色部分的面積是一樣的，進一步明白圖形運動的變化規律。

圖10

為了感受圖形運動在圖形計算中的價值，設計這樣的習題：一個直角三角形ABC的兩條直角邊長分別是3厘米和4厘米,把它按2∶1放大后得到三角形DEF。三角形ABC與DEF的周長之比是多少？面積之比呢？

學生往往計算出原三角形的面積，再分別按比例擴大求出面積之比。直面學生思維認知障礙，讓學生在網格中畫圖驗證，從而把握圖形放大與縮小的本質。

總之，畢業總復習教學中，教師應充分考慮學生的認知基礎，整體把握各知識點的本質屬性，有針對性地進行教學設計，讓學生不僅掌握知識，還能提升能力，這樣才能讓復習更加接地氣，更加有生命力。