規律源自探索
——蘇教版數學“探索規律”教學策略例談

江蘇蘇州市吳中區東湖小學 蔣 欣

在蘇教版數學教材中，自三年級起每學期安排了一課時的“探索規律”，主要分布于“數與代數”“圖形與幾何”等領域。這樣的“分散滲透”與“專題編排”正是蘇教版數學教材的特色與亮點。這些內容既很好地反映了數學學科的特點，同時也符合學生的認知規律。

筆者以蘇教版數學教材中的“探索規律”為例，結合目前在教學中存在的一些問題，試圖從課堂實施的層面談幾點自己的思考及做法。

一、尚存問題

在實際教學中，不少教師在教學“探索實踐”這一專題內容時，對教學目標的定位不夠準確。主要表現在：組織教學活動時，過于注重幫助學生掌握、理解“規律”的內容，而忽視了引領學生發現“規律”的探索過程；或者過于注重組織學生進行規范地表達“規律”，而忽視了引領學生個性化感悟發現的“規律”；或者過于注重通過演繹推理運用“規律”進行問題解決，而忽視了引領學生在合情推理基礎上對“規律”的大膽猜想。

二、原因淺析

有些教師將“探索規律”中的“規律”僅看作是一個知識點，而衡量學生對一個數學知識的掌握程度，顯然要關注其對知識的理解與掌握程度；也可能是為了片面追求課堂教學的效率，故而縮減了學生的探究過程；還可能是多年來受應試教育的影響，于是將是否掌握規律并熟練運用規律解決問題作為一個重要的考量標準。

三、思考與做法

《義務教育數學課程標準(2011年版)》提出，學生學習應當是一個生動活潑的、主動的、富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、猜測、實驗、推理、驗證、計算等活動過程。

因此，教師在教學實際中應該有計劃地引導學生積極參與到探索活動之中，著重引領學生經歷有序觀察、大膽猜測、科學實驗、合情推理、合理驗證，以及準確計算等探索過程。至于“規律”的內容，重在引導學生去感悟，同時鼓勵學生進行自主表達，在此基礎上適當運用獲得的“規律”解決相關的實際問題。

1.探索規律需要有序觀察

“探索規律”的學習活動，首先要從學生學會有序觀察開始。觀察，是有目的、有計劃的知覺活動，是以視覺為主，融其他感覺為一體的綜合感知，而且觀察包含著積極的思維活動，因此稱之為知覺的高級形式。在“探索規律”等數學活動的觀察中，還應做到歸類、有序，才有利于發現規律。

例如，在教學六年級上冊的“表面涂色的正方體”這一內容時，關鍵是要引導學生有序觀察、合理分類、展開想象，教師在此基礎上組織以下幾個層次的探索活動：

第一層次，組織學生通過觀察一個表面涂上紅色的正方體積木（課件演示“每條棱都被平均分成2份”），引導學生思考：如果沿線切開，能得到多少個小正方體？這些小正方體分別有幾個面被涂到紅色？學生通過觀察，容易想到：在“切成”的小正方體中，只有原來露在表面的那些面才會被涂到紅色。

第二層次，通過組織學生觀察“每條棱被平均分成3份、4份、5份……的正方體”，探索“表面涂色的正方體”的規律。這一層次的教學活動極為關鍵，因為第一層次探索活動中的正方體是個特例：棱長二等分后得到的8個小正方體都在原來的頂點處，均有3面被涂到紅色。因此探索“每條棱被三等分的正方體”的情況將是關鍵，引導學生通過有序觀察發現：若按規定切開，切成的小正方體中有3面涂色（在頂點處）、2面涂色（在棱中間）、1面涂色（在面中間），并且數量不同。在此基礎上，再有序觀察“每條棱被平均分成4份、5份……的正方體”，并通過觀察、比較3面涂色、2面涂色、1面涂色小正方體的個數，逐步發現規律。

第三層次，嘗試歸納總結規律，并用字母、符號進行適當的表達。

數學中的許多規律、公理都來源于觀察。這一專題中的“規律”帶有一定的隱蔽性，在探索活動中教師需要引導學生進行合理分類、有序觀察。這里的“有序”主要體現在兩個方面：其一，通過觀察要將一個正方體中“切割”得到的小正方體按涂色的面數進行分類；其二，要有序地觀察將正方體每條棱二等分、三等分、四等分、五等分的情況，并由此展開想象。因此，有序觀察在探索數學規律的過程中具有普遍價值。

2. 探索規律需要大膽猜想

法國數學家龐加萊曾說：“邏輯用于論證，直覺可用于發明。”在我們數學“探索規律”的教學中，也需要我們的學生擁有這種直覺思維。因為直覺思維有著：直接性、經驗性、迅速性、跳躍性、或然性等特征，而這些正是小學生思維的特點。

例如，教師在教學五年級下冊“和與積的奇偶性”這一探索活動時，就要充分利用學生的已有經驗，鼓勵學生大膽猜想。

這一專題活動的探索，學生會有兩次直覺猜想：第一次是關于“和的奇偶性”，從探究“兩個數相加”開始并逐步拓展，學生憑直覺——幾個偶數相加，和一定是偶數，因此“和的奇偶性”關鍵看加數中奇數的情況。第二次是關于“積的奇偶性”，學生憑經驗——幾個奇數相乘，積一定是奇數，因此“積的奇偶性”關鍵看乘數中的偶數的情況。學生僅憑直覺或數感得出這樣的猜想，沒有邏輯推理，但是這種猜想極其重要，因為針對這一規律的探索正是從這樣的猜想開始的。學生有了這樣的直覺猜想，接下來的舉例驗證才有方向與目標。

因此，教師在組織“探索規律”專題活動時，要充分利用學生的直覺思維，積極鼓勵他們大膽地猜測與假設。在探索過程中允許學生“即興回答”，允許學生根據線索片段做出直覺判斷。教師在此基礎上引導學生展開合理想象、動手操作，從而習得規律。

3. 探索規律需要合理驗證

探索規律不僅是去探索和發現數學規律，更主要的是引領學生經歷從特殊到一般、從一般到特殊的探索規律和驗證規律的過程，了解從特殊到一般、從一般到特殊的數學思想方法。

例如，四年級下冊“多邊形的內角和”這一內容，在探索過程中教師就要引領學生經歷從特殊到一般的驗證過程。第一次驗證，是關于四邊形的內角和，學生容易想到兩個特殊的四邊形——長方形和正方形，它們的內角和是360°，因為它們每個內角都是90°。需要驗證的是，是不是每一個四邊形的內角和都是360°呢？從而，結合已有的經驗——把四邊形分成兩個三角形，進行探索一般四邊形的內角和。第二次需要驗證的是：是不是任意多邊形都能像四邊形那樣分成若干個三角形呢？通過操作與想象，答案顯然是肯定的。第三次要驗證的是：是不是分成的三角形的個數總比多邊形的邊數少2呢？通過對劃分成三角形的多邊形的分析發現：分成的所有三角形中，只有兩個三角形中的兩條邊是多邊形的邊，其余三角形都只有一條邊是多邊形的邊，所以三角形的個數總比多邊形的邊數少2。從而歸納出：多邊形的內角和＝（多邊形的邊數-2）×180°。

一個數學規律的發現，如果僅停留在猜想的階段，那么它永遠是一個猜想，而不會真正成為“規律”，要使其成為真正的數學規律，就得經歷合理的驗證。因此，合理驗證是探索、發現數學規律過程中極為重要的環節。

4. 探索規律需要科學實驗

探索規律的教學貴在探索，而探索有可能找不到規律，也有可能找不對規律，還可能找不全規律，這才是真實的探索過程。于是，探索規律需要不斷地實驗，只有科學地進行數學實驗才能對發現的“規律”進行調整、糾偏。

例如，五年級上冊“釘子板上的多邊形”，乍一看“釘子板上的多邊形”學生很難立即想到這些多邊形與“釘子數”有關，甚至不會想到與多邊形邊上還是內部的釘子數量之間的關系。如果教師完全按照教材提供的問題線索組織學生進行探索研究，那么這樣的“探索”只是按圖索驥，并沒有問題思路的整理和實驗步驟的確定。因此，筆者覺得針對數學規律的探索活動有必要引領學生以科學的態度進行數學實驗。在實際的教學中，教師可以組織學生進行以下幾個層次的數學實驗活動：

第一次實驗：多邊形的面積與釘子的數量有關。教學時，教師提供各種情況的多邊形——多邊形內部的釘子數不統一，同時學生在點子圖上任意畫幾個多邊形，此時學生只是“有所察覺”而不成“規律”，但能激發學生探究的興趣。第二次實驗：這次實驗是基于第一次實驗的困惑，學生有所發現，當多邊形內部只有1枚釘子時，多邊形的面積數正好是邊上釘子數的一半。于是再次進行實驗——在點子圖上任意畫“內部有1枚釘子的多邊形”。學生通過這次實驗，對“規律”已經有所發現，只是不夠完整，但激發學生欲罷不能的探索欲望——是不是只有當“多邊形內部只有1枚釘子”時才有這樣的規律呢？第三次實驗：多邊形的面積數與其邊上和內部的釘子數都有關系。引導學生組織畫圖實驗——依次探索多邊形內部有1枚、2枚、3枚……以及內部沒有釘子的圖形進行探索，從而獲得完整的規律。

“數學實驗，這種建立在對物質世界的直接經驗基礎上的真正的學習，使數學成為一門有趣的、受學生歡迎并使學生都能理解的學科。”因此，在“探索規律”的教學中，教師除了組織學生根據問題的引領去關注“探索什么”，更應該引導學生通過科學實驗去經歷“如何探索”的過程，這才是學生探索數學規律的真諦所在。

5. 探索規律需要合情推理

教師引領學生學習“探索規律”這一專題內容，實際上就是引領學生走進數學世界，進行合理地推理與有效地演繹。對于學生來說，合情推理具有可操作性，因為學生可以通過歸納與類比得到自己推理的結果。

例如，教師在組織教學六年級下冊“面積的變化”這一專題活動時，就要充分利用學生已有的經驗——圖形的放大與縮小，引領學生通過聯想、歸納與類比進行合情推理。具體的探索活動如下：

首先，組織學生測量一大一小兩個長方形的長和寬，明確大長方形與小長方形對應邊的比是3∶1，即大長方形是小長方形按3∶1的比放大的。在此基礎上，學生發現這兩個長方形面積的比是9∶1，并產生聯想：這里的“9”會不會是“3×3”得到的呢？第二，引導學生自主探索。從簡單、熟悉的圖形開始，如大小兩個正方形之間的面積關系，更容易發現：如果正方形按3∶1放大，面積是32∶1；如果正方形按2∶1放大，面積就是22∶1……再推廣到三角形、圓等圖形。第三，幫助學生從特殊走向一般，逐漸歸納出數學規律：一個平面圖形如果按n∶1放大，那么放大后與放大前圖形的面積比是n2∶1。

歸納推理與類比推理是兩種用途最廣的合情推理，正如數學家拉普拉斯說：“甚至在數學里，發現真理的主要工具也是歸納和類比。”當然，從嚴謹的邏輯判斷來講，合情推理得到的結果不一定全部準確，但學生的思維是在合情推理中得到鍛煉的，推理能力也是在這樣的合情推理中逐步形成的，同時也有利于增強學生的探究意識。

6. 探索規律需要準確計算

“探索規律”主要分布于“數與代數”和“圖形與幾何”等領域，不少規律的探索過程都是在準確計算的基礎上進行的，而準確計算也為順利進行探索活動提供了保障。

例如，在三年級下冊“有趣的乘法計算”這一探索活動中，“準確計算”既是基礎和前提，也是教學目標。首先，教師組織學生計算一組“兩位數與11相乘”的計算題，在此基礎上引導學生觀察乘積與這個兩位數之間的關系。第二，學生各自舉例再次計算進行驗證，并通過觀察豎式中的計算過程以理解這一計算規律的算理，有利于促進學生真正掌握“兩位數與11相乘”的計算規律。否則學生掌握的可能只是關于乘積表象的一句口訣：“兩端一拉，中間相加，滿十進一。”至于探索“十位相同且個位上的數相加等于10的兩個數相乘”和“形如（n-1）×（n+1）乘法”的計算規律，同樣是在學生準確計算的基礎上通過觀察發現。

再如，四年級上冊“簡單的周期”這一探索活動，也需要學生進行準確計算，當然更重要的是對“余數”的理解。

學生通過準確計算探索發現這些運算規律之后，反過來又再次促進了運算能力。這樣的探索過程使學生既明確算理，又掌握計算技巧，對發展學生的運算能力這一數學核心素養非常有益。

另外，獲得相應的數學規律之后，我們就需要對規律進行概括與表達，這也是規律的精華所在。筆者認為，對于學生而言，對有些規律的表達可以個性化呈現，例如關于“間隔排列”的規律，它屬于簡單情境下的變化規律，又比較貼近生活實際，在表達時允許學生運用文字、符號或字母，只要能感悟其本質就行。當然，對有些規律的表達則需要“公式化”，例如“多邊形的內角和”屬于數學本身的規律，它具有一定的隱蔽性，用公式表達更能體現數學的簡約性和符號化，也有利于幫助學生建模。

關于應用規律解決實際問題，是規律的價值所在，也是“探索規律”的教學目標之一。但在小學階段，教師不宜將“探索規律”的教學重點落在解決問題上，學生能體會規律的應用價值就行，更不應該將應用規律解決實際問題的水平作為評價的主要標準。

基于以上思考，筆者認為關于小學數學中“探索規律”的教學，教師應該跳出傳統教學中“應試”的思維去思考與實踐。在教學中我們除了關注這些“規律”的內容或承載的知識之外，更應該重視學生探索數學規律的方法，感悟相應的數學思想，積累數學活動的基本經驗，并培養數學實驗的科學態度。

“探索規律”的教學，主要目的是讓學生學會研究數學的方法，使學生的數學思維更加開放、多元，促進思維能力的發展。蘇教版數學教材中8個“探索規律”的專題活動，盡管以獨立的課時截取了數學中某一片段的內容予以呈現，但與很多內容有著直接的、緊密的聯系；它們就像一顆顆“種子”植入學生的大腦，這些“種子”蘊含著數學文化、數學思維品質和數學關鍵能力。因此，需要教師積極探索，在組織教學時為學生提供充分的自主學習空間，并引領學生用數學的眼光去觀察現實世界，用數學的思維去思考現實世界，用數學的語言去表達現實世界，用數學的方法去分析和解決現實生活中的問題。