導數在經濟管理領域中的最值問題應用淺析

陳杰

摘要：最值問題是導數在經濟領域應用的一個重要方面，經濟學研究者們研究的主體基本是圍繞如何在最少的投入中產生出最大的收益，其中涉及到的“最少”和“最大”就是數學中的常說的最值問題。文章主要從最小平均成本、最大利潤、最佳廣告費支出、最佳存款利息以及最佳批量、批數等五個方面舉例說明最值在經濟管理領域中的簡單應用。

關鍵詞：最值問題;經濟管理;導數;應用

最值問題在人們的日常生活與工作中都普遍的存在，如商業企業會制定一些促銷措施、優惠手段、優化流通方案等，目的就是為了獲得最大的利潤。因此，任何企業都會根據自身的實際條件，以尋求優化方案作為目標，這也是當前企業經營管理中的中心命題。事實上，這些都是最值問題，即最大值與最小值的問題。下面，筆者主要通過一些具體的實例，介紹最值在經濟管理領域相關方面的應用。

一、最小平均成本

在經濟學中，總成本通常指生產某種品種或數量的產品所需要的全部經濟資源的總價格或費用，由固定成本與變動成本構成。在數學中通常用符號來表示總成本，表示固定成本，表示可變成本，用表示產品的產量。在一定條件下，總成本=固定成本+可變成本，那么總成本函數可表示為;我們也會用來表示平均成本函數。在經濟學中，也通常用成本函數的導數來表示邊際成本函數，即生產前最后一個單位增加的成本。

例：某飲料生產加工企業生產某種飲品的成本（元）是日產量（噸）的函數，問日產量為多少時，才能使平均成本最低？

解：

令，得;由于

∴當日產量時，有最小平均成本

因此，該飲料生產企業日產量定為424噸時，能使平均成本達到最低130.97元/噸。

二、最大利潤

企業經營生產的主要目的之一就是獲取豐厚的利潤，利潤是收益與成本之差，一般記為。若用表示收入，表示成本，則利潤，那么利潤函數即可可表示為。這時對利潤函數求導數，然后讓導數等于零，即，通過化簡可以得到，而這只是取得極值的一個必要條件，如果要使利潤函數在這個條件下取到最大值，那么就必須有利潤函數的二階導數小于零，即。只有當以上兩個條件都滿足時，生產經營利潤則能達到最大，這就是最大利潤的計算方法。

例：設某白酒生產加工企業生產某款品牌白酒的生產成本（元）是月產量（瓶）的函數：，而目前市場上對該品牌白酒的需求（瓶）是單價（元/瓶）的函數：，白酒生產企業要根據該品牌白酒在市場上的需求來組織生產。試求：該白酒生產企業的月產量定為多少時，企業獲取的利潤為最大;并求出此時生產水平上的價格又是多少？

解：根據題目所給的已知條件，可以得到需求函數為，

即，從而可以得到收入函數為.

那么，利潤函數

令，得

由于，而是的唯一駐點，而且是極大值點。

所以當該品牌白酒月產量定為29瓶時，白酒生產企業可獲得最大利潤，此時價格為元。

三、最佳廣告費支出

在企業的生產經營銷售過程中，為了增加銷量，常用的促銷手段之一就是投放各類產品宣傳廣告，這也是目前被很多企業所采用的提高銷量方式之一。如何精準地投放廣告，尋求最佳廣告開支是當前企業亟待解決的問題。

例：某化妝品公司研發了一款新的唇膏，為了提高改唇膏在區域范圍內的知名度，增加銷量，在網絡媒體上進行了適當的廣告宣傳。若該新唇膏的利潤為100元，每月的廣告費支出的平均值為元，如果設銷售量是廣告費的函數，且，其中，求要使該新唇膏獲得最大的利潤，那么最佳的廣告支出是多少元？

解：設該新唇膏的純利潤函數為

則通過對利潤函數求導得到

令，可以得到，解得（元）

通過對利潤函數二次求導得：，得到，由于純利潤函數存在唯一極值點，那么這個唯一極值點就是極大值點。

所以，當每月廣告費支出為元時，該新唇膏的利潤取得最大值，（元），所以，當廣告費每月支出為599元時，可以使該產品達到最高純利潤39 301元。

四、最佳存款利息

目前，商業銀行業務的開展主要有兩個方面，一是吸收存儲現金，二是利用資金進行投資。商業銀行一般會根據資金投資的收益來決定某項存款服務的利息，最重要目的就是使獲得的收益最大。

例：某商業銀行擬發行一款固定期限基金產品，假設獲得的資金量與基金收益成正比，經過市場調研，通過獲得資金進行投資的收益約為，那么該款基金產品在對外宣傳時收益率定為多少才能使投資獲得的收益最大。

解：設基金產品的收益率為，獲得的資金總額為，由題意可知，與成正比，則（為正常數），若使用資金進行投資的總額為，則投資獲得的收益為，而這筆投資資金要付給基金購買人的收益為，因此進行投資獲得純收益為;

令，即，得，

且（），即駐點是的唯一極值點，而且是極大值點。

因此，當該款基金產品的收益率定為時，可獲得最大的投資純收益。

以上只是理論上的投資純收益，在具體的銀行業務中，投資的收益會受到很多方面因素的影響，從而也影響函數客觀性。

五、最佳批量和批數

企業為了保證生產的正常運行，都會根據生產任務提前采購生產所需的原材料，那么就會遇到如何使訂單手續費用跟保管費用最少的問題，即最佳批量與批數問題。

例：某企業每年生產某種產品需要甲原料噸，每次購買甲原料的手續費為元，而該甲原料每噸的庫存保管費用為元，問在該產品均勻生產的條件下（即甲原料的平均庫存數為批量的一半），該企業分幾批購進甲原料能使訂單手續費與庫存費最少？

解：設甲原料訂購批數為時總費用為元，則可得：

令導數等于零，即，得駐點

又因為二階導數，所以當時，又因為存在唯一駐點，所以取得的極小值即實際問題的最小值。

因此，該企業應分為批購進可使采購甲原料的手續費及庫存保管費之和最少。

在本例中，通過批數可算出批量為，這就是最佳進貨量，經濟學中稱之為最佳經濟批量。

隨著科學經濟的不斷發展，數學作為一門基礎學科已經廣泛應用到政治、經濟、文化等各個領域。導數求最值的問題應用頗為廣泛。在經濟管理領域的相關研究中，如何用最少的投入來獲得最大的收益是經濟學者們研究的主要內容。諸多的應用為導數在經濟管理領域中的應用提供了更廣闊的研究舞臺。■

參考文獻：

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[2]楊桂元.經濟數學基礎[M].北京：中國物資出版社，2007.

[3]江勇.例析導數在經濟領域的最值問題[J].大眾科技，2011（9）：34-35.

作者簡介：陳 杰，男，漢族，江蘇丹陽人，蘇州旅游與財經高等職業技術學校教師，主要從事數學教育教學研究。