方程在幾何題中的應用

葉少梅

【摘要】在數學教育活動中，大部分數學概念與教學知識之間存在著極為密切的聯系，為優化教學活動，加深學生對于數學概念的理解，教師應努力嘗試利用已經掌握的數學知識解決后續的數學問題，依靠既得的數學經驗幫助學生解答數學學習問題。本文針對初中數學教學活動展開論述，思考方程在幾何題教學活動中的應用。

【關鍵詞】方程? ?幾何題? ?應用

方程是基于西方數學理論發展而來的學習模塊，通過對方程的計算、對未知數的選擇，學生能夠在較短的時間內明確掌握解題方向，并剔除其他信息對于教學活動的干擾，依靠方程，對客觀學習問題做出回應。但在以往的教學活動中，方程多應用于抽象數字的計算當中，幫助學生利用方程解決幾何問題，這是一次極具代表性的數學嘗試。

一、推理證明，解決面積問題

方程從數學問題的數量關系入手，通過方程，教師能夠幫助學生在所掌握的數學材料中提取新的可用知識，并根據數學問題的相關表述構建全新的數學模型，促使問題中已知的、未知的題干信息構成新的數量關系。在當前的初中數學教育活動中，方程的應用極為廣泛，但大多以抽象數據的計算、數量關系的計算為核心任務，對于空間幾何問題的影響并不明顯，要將方程融合到幾何問題當中，教師應明確把握方程問題與幾何問題的相同點、共同點，依靠兩種不同解題方式的相互輻射，重新定義數學解題活動。

方程思想從問題的數量關系入手，幾何問題則強調圖形的位置關系、大小關系，其差別較為明顯，利用方程解決幾何問題，其教學實質等同于“數形轉化”，基于這一觀點，教師可將涉及到數字換算的數學問題提取出來，依靠方程建立新的數字關系，從而幫助學生解決幾何問題。以初中數學教材《平行線及其判定》的相關學習為例，在這一板塊的教學活動中，學生可能會接觸到圖形的折疊、變形，求面積問題，如圖所示：

在這一幾何結構中，圖形的形狀、邊長、角度等性質在不斷改變，直接求解的難度較大，教師可利用方程發起推理證明活動，幫助學生梳理圖形之間的數量關系。在這一過程中，教師可幫助學生利用方程確定相關問題的數量關系，已知AD=8，AB=4，根據所給圖形得出BE=x，則AE=8-x，BE=ED，進而列出解題方程式。在求解環節，學生能夠利用等腰三角形的基本性質、平行線的基本概念等數學知識確定相應的數量關系，進而對方程進行求解，得出正確答案。與傳統的解題方法相比，其所應用到的數學材料并不復雜，僅要求學生利用方程知識與已掌握的知識發起互動，對于學生來說，解題的開放性更強。

二、主觀推測，解決思考問題

在初中階段的幾何教學活動中，部分教學問題在提問時并沒有給出一個明確的思考目標，其要求學生計算最終的長度、面積，或對圖形是否全等等內容進行判定，針對這類問題，其解題活動很容易受到學生主觀意識的干擾，如果學生能夠以積極的態度回應相關問題，向著“猜測”的方向不斷靠攏，其所提出的答案的合理性也能夠在一定程度上被保障。

以初中數學教材《三角形全等的判定》的相關教學為例，針對該類問題，經常會出現以下類型的推導題：兩個三角形放置在同一平面內，每個三角形上都有一個點，當兩個點開始運動時，問何時兩個三角形能夠形成全等三角形？如下圖所示：

這類問題中雖然給出了明確的數量關系，但如果只依靠學生的主觀推導，計算的壓力較大，且容易出現判斷錯誤，教師可利用方程對該類開放性較強的問題做出回應，幫助學生更為積極的掌握解題方式。在解題活動中，教師可幫助學生確定兩個三角形形成全等三角形的數量關系：（1）AC=BQ，AP=BP;（2）AC=PB，AP=BQ，在不同的全等關系下羅列對應的方程組，依靠數量關系得出最終答案。傳統的教學方法要求學生獨立對CP、QB、PB等邊的長度進行計算，學生的運算壓力較大，很容易出現計算錯誤，而在方程組的協助下，其能夠直接擺脫無關變量對于問題的干擾，圍繞問題的著力點建立方程式，進而對方程問題做出回應。

三、數形結合，確定數學關系

數形結合已經成為初中數學教學活動中的理想化方法，通過對數字材料的定向加工，教師能夠依靠直觀幾何圖形為學生創造觀察與思考的對象，從而實現抽象問題的具體化處理，將復雜的數學問題轉化為簡單的數學結構。但對于初中數學教學活動來說，教學活動中所涉及到的相關知識以未知數的求值、位置關系的判定為主，在建立空間關系之后，幾何圖形可能會對原本的數量關系產生干擾，基于這一特點，教師可利用方程轉化教學思路，幫助學生解決數學思考問題。

以初中數學教材《全等三角形》的相關學習為例，在這一板塊的教學活動中，可能會涉及到位置關系推導問題、相似三角形推導問題，在這一板塊，學生需要對角、邊的數量關系進行整理，從而根據所得的大量數據進行運算，然后才能得出正確答案，如下圖所示：

在問題中，Q是AB上不斷運動的點，P是OA上運動的點，二者的運動速度不同，問到運動多長時間后，兩個三角形成為相似三角形？在對這一問題進行解答時，教師可幫助學生圍繞P的運動時間、Q的運動時間分別建立方程組，將對運動時間的求解轉化為對未知數的求解，縮小學生的解題范圍。通過導入時間t，利用二者的速度之差建立方程式，提高運算效率。在這一過程中，學生無需對客觀圖形進行推導，圖形作為載體給出數據，在利用方程解題的過程中，解題速度大幅提升。

結語

方程在幾何題中的應用越來越常見，在利用方程幫助學生解決幾何問題時，教師應將幾何概念與數字從問題中提取出來，依靠所給出的數學材料，重新確定數學關系，利用方程優化解題方法。

【參考文獻】

[1]李國峰. 利用方程求解幾何問題[J]. 數理天地：初中版， 2016， 000（004）：P.31-32.

[2]海楠. 列方程解初中幾何題舉例[J]. 中學生數學：初中版， 2010， 000（012）：P.17-18.

[3]楊燕. 中考中的幾何、方程綜合題[J]. 中學生數理化：初中版， 2003， 000（007）：4-6.