數(shù)學是一門“關系學”

編者按：用聯(lián)系的眼光、系統(tǒng)的思維，從整體建構的視角來開展教育教學研究，并不是什么新課題。然而，長期以來，數(shù)學碎片化教學非常普遍且根深蒂固。要改變這一現(xiàn)狀，必須從數(shù)學本質(zhì)的理解、學科課程的整合、教學行為的改進等方面聯(lián)合用力，打出“組合拳”。本期推出的許衛(wèi)兵名師團隊成員三篇文章（全國教育科學“十三五”規(guī)劃2019年度教育部重點課題“指向整體建構的小學數(shù)學簡約教學資源建設”（課題批準號：DHA190453）），從不同的視角，闡述對小學數(shù)學整體建枸教學的探索與思考，期待能引發(fā)讀者的共鳴，并共同參與到此專題的實踐研究中。

[摘要]任何學科的教學都離不開對學科特點和本質(zhì)的理解與掌握。從“關系”的視角來解讀數(shù)學的學科特點與內(nèi)涵本質(zhì)，整體建構數(shù)學課程，建立一種樸素而又深刻的“關系”思維，可以幫助我們更好地深化教學改革，減負增效，并在一定程度上根治長期存在的散點式、碎片化、割裂式等教學頑疾。

[關鍵詞]數(shù)學;整體建構;關系;思維發(fā)展

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020）26-0001-03

一、什么是數(shù)學

無論是教數(shù)學還是學數(shù)學，首先要了解什么是數(shù)學。關于什么是數(shù)學，人們很容易想到詞典上的解釋：“研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的學科。”其實，對數(shù)學的理解并非一成不變。

2001年，我在閱讀《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》時，被“前言”中的第一句話吸引：“數(shù)學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。”為何對數(shù)學的描述一改往日的經(jīng)典定義呢？《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）解讀》一書中，是這樣說明的：

雖然很多實際工作者希望《標準》有一個關于數(shù)學的簡單而且強有力的定義，但顯然《標準》對數(shù)學沒有采取簡單定義的方法。因為數(shù)學不僅是一門知識，更是人類實踐活動創(chuàng)造的產(chǎn)物，是由諸多元素構成的多元結(jié)構;社會與文化不僅推動著數(shù)學的發(fā)展，同時數(shù)學也是推動社會與文化發(fā)展的關鍵性因素;對數(shù)學的認識不僅要從數(shù)學家關于數(shù)學本質(zhì)的觀點中去領悟，更要從數(shù)學活動的親身實踐中去體驗;數(shù)學發(fā)展的動力不僅要從歷史的角度度量，更要從數(shù)學與人和現(xiàn)實生活的聯(lián)系中去尋找。無論如何，僅僅用“研究現(xiàn)實世界數(shù)量關系和空間形式的科學”來刻畫數(shù)學或生硬地背誦這些語句已經(jīng)遠遠不夠了。

2011年，我翻閱《義務教育數(shù)學課程標準（ 2011年版）》時發(fā)現(xiàn)，前言中的第一句話為：“數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學。”有關數(shù)學的經(jīng)典定義為何在十年之后又回到課程標準中了呢？這兩種不同的表述有何區(qū)別？

我嘗試采用語文中的縮寫句子來做一個簡單比較。“數(shù)學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程”縮寫為“數(shù)學——是——過程”;“數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學”縮寫為“數(shù)學——是——科學”。數(shù)學確實是“過程”啊，是人們發(fā)現(xiàn)、發(fā)展、發(fā)明的過程，是不斷傳承、不斷發(fā)展、不斷豐富、不斷完善的過程，數(shù)學學習強調(diào)過程與方法，也就是表達數(shù)學學習和數(shù)學發(fā)展有著“過程”意義的一致性。不過，數(shù)學也確實是“科學”啊，是具有獨特語言和價值的自然科學體系。那這兩種表述到底誰對誰錯？我認為，都沒有錯，它們只是從不同的角度來描述數(shù)學。既然都沒錯，那為何又改來改去呢？《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》修訂核心組專家是這樣解釋的：

數(shù)學本身是一個歷史的概念，數(shù)學的內(nèi)涵隨著時代的變化而變化。然而縱觀數(shù)學的全部歷史，人們可以達成這樣的共識：盡管經(jīng)過由古到今的漫長發(fā)展，現(xiàn)代數(shù)學已是一個分支眾多的龐大的知識系統(tǒng)，但整個數(shù)學始終是圍繞著“數(shù)”與“形”這兩個基本概念的抽象、提煉而發(fā)展的。數(shù)學在各個領域中千變?nèi)f化的應用也是通過這兩個基本概念而進行的。需要說明的是，這里所說的數(shù)量關系和空間形式，并不限于現(xiàn)實世界，而是包括一切可能的數(shù)量關系和空間形式：它們既可以來源于現(xiàn)實世界，也可以是數(shù)學自身邏輯的產(chǎn)物。《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》對什么是數(shù)學的這一陳述，反映了以往作為自然科學傳統(tǒng)學科之一的數(shù)學發(fā)展到我們這個時代所經(jīng)歷的深刻變化。

我認為，這樣的對比研究，可以幫助我們建立多維、立體、動態(tài)的數(shù)學觀。

二、數(shù)學是一門“關系學”

上述關于數(shù)學的解釋，比較理論，也比較抽象。對小學生而言，要想據(jù)此來理解什么是數(shù)學，難度很大，既不現(xiàn)實，也不可行。

張奠宙、孔凡哲等人撰寫的《小學數(shù)學研究》中的一個題目吸引了我——數(shù)學是一門研究“關系”的學問，意思是說，數(shù)學中的任何知識、方法、思想，都不是孤立的，而是跟其他的知識、方法、思想等有著密切的聯(lián)系。也就是說，數(shù)學很奇妙，“關系”最重要！

舉個簡單的例子。低年級要學習乘法，乘法是相同加數(shù)相加求和的簡便運算，習慣上說成是“幾個幾在相加”。乘法有三個基本數(shù)量：每份數(shù)（相同的加數(shù)）、份數(shù)（相同加數(shù)的個數(shù)）、總數(shù)（得出的和）。二年級學習了乘法，后面的年級就有了好多的乘法應用類型（或模型）。小學階段的乘法應用模型主要有四種：第一種，“倍”的模型，基本數(shù)量是“一倍數(shù)”“幾倍數(shù)”“倍數(shù)”;第二種，長方形的面積計算模型，“長”表示一行擺了幾個面積單位，“寬”是一共可以擺幾行，面積就是“長×寬”（幾個幾）;第三種，常見的數(shù)量關系模型，如單價、數(shù)量、總價，速度、時間、路程，工作效率、工作時間、工作總量等;第四種，“搭配”模型，類似于幾件上衣、幾條褲子可以搭配出幾套不同的服裝。有了這樣一種結(jié)構化、體系化的理解，不僅教師教得清晰，學生也學得輕松。

關系的前提和基礎是“元素”，一個獨立的事物是沒有什么關系可言的，多個元素之間才能產(chǎn)生關系。比如，一年級開始學習人民幣，人民幣有三個單位“元、角、分”，這三個單位可以看成是三個“元素”。它們之間的關系是：1元=10角，1角=10分，1元=100分。

這兩幅板書，都呈現(xiàn)了人民幣的單位及相互關系，具有一定的結(jié)構感。但是，相比而言，右邊的板書結(jié)構感更強。首先，它將表達等式關系的等號變成雙向箭頭，進率寫在箭頭的中間，直觀地表達了等號蘊含的雙向關系（比如，1元等于10角，10角等于1元）;其次，它把三組相等關系同圖呈現(xiàn)，更容易看出兩個“10”和“100”的內(nèi)在關聯(lián)，即10個10就是100;最后，它怎么看都更像是一個整體，而左邊的板書給人的感覺依然是三道關系式。

這就表明，關聯(lián)性、系統(tǒng)化的知識需要有結(jié)構化的表達。在考慮結(jié)構化表達時，往往需要有三個追問：是不是所有的元素都出現(xiàn)了？元素與元素之間的關系是不是都明確了？元素與關系的組合是不是更像一個整體？

三、數(shù)學學習重在培育“關系”思維

如果說，把握關系建構整體、借助整體明晰關系，是數(shù)學學科整體性和結(jié)構性特征對數(shù)學教學提出的要求，那么，從學習的角度來講，讓學生學會理順關系，建立聯(lián)系，培育和發(fā)展“關系”思維就顯得尤為重要。因而，教師要充分發(fā)掘隱藏在知識背后的結(jié)構關聯(lián)和思維含量，將數(shù)學思維發(fā)展和數(shù)學知識學習有機結(jié)合起來。

一年級上冊“1-5的認識”是小學生認數(shù)的起始課。大多數(shù)教材都是提供一幅主題圖，圖上畫有1個、2個、3個、4個、5個數(shù)量不同的物品。不少教師教學時都是采用看圖說話的方式，讓學生先觀察情景圖，說一說圖中還有什么。當學生隨機說出圖中有1只小狗、5個南瓜、3盆花、2只鵝……后，出示1、2、3、4、5這5個數(shù)，然后再進行抽象，用小棒擺數(shù)、寫數(shù)等。這樣的教學過程，從本質(zhì)上來說是把1、2、3、4、5看成獨立的5個數(shù)。實際上，認識1-5，不只是認識1、2、3、4、5，更重要的是初步認識自然數(shù)列，而自然數(shù)列一個鮮明的特征是每相鄰的兩個數(shù)相差1（等差數(shù)列），因此，“1-5的認識”的教學應該放在數(shù)列中。我的設想是：開始呈現(xiàn)生活情景圖時，每種物品只呈現(xiàn)1個，如1只狗、1只鵝、1只鳥、1只雞、1盆花、1個南瓜等，讓學生觀察圖中都有什么，它們各是多少個，最后得出它們都是1個。在此基礎上，又呈現(xiàn)“走來了1只鵝”，問學生：“現(xiàn)在鵝的數(shù)量還是1只嗎？”學生都知道不是1而是2了，由此得出“1加1就變成了2”。“那么，你能讓其他物品也都變成2嗎？”于是，增加1只雞、1只狗、1只鳥、1盆花、1個南瓜，讓所有物品數(shù)量都變成2，強化“l(fā)加1就變成2”的感受。在此基礎上，再呈現(xiàn)“飛來1只小鳥”，問學生：“現(xiàn)在有幾只小鳥呢？”學生回答：“3。”順著這樣的思路，“2加上l就變成3”“3加上1就變成4”“4加上1就變成5”的認識就自然生成了。回顧總結(jié)時，教師只要適當點撥“數(shù)學很奇妙，關系最重要”，學生“關系”思維就能在不知不覺中開始生長。

思維發(fā)展需要經(jīng)歷孕育、點撥、提示、引導、感悟、內(nèi)省、轉(zhuǎn)化、應用等過程，不可能一蹴而就，要盡早滲透，從小抓起，持續(xù)發(fā)力，長期培養(yǎng)。在課堂教學中，教師可多用箭頭來表達關聯(lián)，多用文字來說明關系，讓課堂板書盡可能呈現(xiàn)一種結(jié)構化的形態(tài)，就是努力給學生以直觀感受和啟蒙。嚴格說來，每一節(jié)課學習的內(nèi)容，都會跟其他內(nèi)容存在著千絲萬縷的聯(lián)系，或是知識層面，或是方法層面，或是思想層面，只要充分挖掘，用心構架，就能充分體現(xiàn)數(shù)學的嚴謹與邏輯，展現(xiàn)數(shù)學之美。

對學生而言，在關聯(lián)和結(jié)構中學習數(shù)學也便于記憶、理解、掌握和應用。例如，小學階段學習長度單位，先學“厘米”，再學“米”，有了兩個單位以后，就要揭示它們之間的關聯(lián)——進率100;接下來學習“毫米”和“分米”，就需要把這兩個新的長度單位和已學的兩個長度單位做一次整合，按照一定的順序排列后，就發(fā)現(xiàn)相鄰兩個單位之間的進率是10，十進制的關系就開始顯現(xiàn)出來了。在此基礎之上，對于第5個長度單位“千米”，最簡單直白的教法，就是直接出示“千米”，然后說清楚l千米有多長，及“千米”和“米”之間的進率是1000。但是，這樣教，學生對長度單位間的關系感受比較膚淺，印象也不深刻。教學時，如果讓學生結(jié)合已有的四個長度單位的關系結(jié)構圖示，圍繞問題“如果人們發(fā)明了第5個單位，你覺得它可能在什么位置？它跟已有的長度單位之間會有什么關系？”去展開研究，學生的主要研究方向可能是2個，一個是比“毫米”還要小，一個是比“米”還要大，那如果比“毫米”還要小，會是誰？它跟“毫米”之間又有什么關系？比“米”還大又可能是誰？它跟“米”之間又有什么關系？在已有的長度單位之間十進制的啟發(fā)下，很容易構建出了一個更加寬廣的長度單位體系（……微米、忽米、絲米、毫米、厘米、分米、米、十米、百米、千米……）。經(jīng)過這樣的學習，學生就會感慨：“數(shù)學真美啊！”“人們在發(fā)明數(shù)學的時候，都是按照一定的規(guī)律來進行的，”當然，這里把“十米”“百米”引入課堂，并不是要求學生去掌握“十米”和“百米”，畢竟這并不是教材內(nèi)容，而是借助它們來更好地感受長度單位體系，更好地理解“為什么千米和米之間的進率是1000”。

進一步思考，這個長度單位的序列表還有助于學生學好面積單位。小學里一共學習五個面積單位——平方厘米、平方分米、平方米、公頃（平方百米）、平方千米，每個面積單位都對應著相應的長度單位——厘米、分米、米、百米、千米。為什么“平方米”和“公頃”之間的進率是10000，而其他相鄰的面積單位之間的進率都是1007原因就在它們之間還有一個面積單位“平方十米”，即“公畝”。現(xiàn)在的教材里已經(jīng)沒有“公畝”了，如果把“公畝”放進來，相鄰的兩個面積單位之間進率是100的關系就變得很完美，也能很好地解釋“平方米”和“公頃”之間的進率為什么是10000（100個100）。

因而，是簡單地去教知識，還是基于知識讓學生感受數(shù)學知識之間那種嚴密的、嚴謹?shù)倪壿嬻w系，充分依據(jù)結(jié)構、生成結(jié)構、拓展結(jié)構、發(fā)展結(jié)構思維，培育數(shù)學素養(yǎng)，是教師必須直面的重要話題。

總的說來，數(shù)學是一門“關系學”的表述，雖不是關于數(shù)學的嚴密的科學定義，但它為我們更好地理解數(shù)學、教數(shù)學、學數(shù)學提供了一個視角，透過這樣的視角，數(shù)學教學、數(shù)學學習別有洞天。

【本文系全國教育科學“十三五”規(guī)劃2019年度教育部重點課題“指向整體建構的小學數(shù)學簡約教學資源建設”的階段研究成果，課題批準號：DHA190453。】

[參考文獻]

[1]劉兼，孫曉天.全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2002.

[2]史寧中.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

（責編金鈴）