探尋解三角形中的最值問題,提升學生邏輯推理核心素養
——從2019年一道解三角形題談起

廣東省佛山市順德區均安中學(528329) 陳 鎖

1 試題呈現

例1 (2019 全國Ⅲ卷理科數學第18 題) 已知ΔABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsinA.

(1)求B;

(2)若ΔABC為銳角三角形,且c=1,求ΔABC面積的取值范圍.

2 解法探究

本題第(1)問簡單,通過正弦定理的邊角互化即可解決.第(2)問思路也很清晰,正弦定理和余弦定理均可,但是問題是用哪個較為合適呢?從表面看,我們用余弦定理直觀明了,得到方程a2－a+1－b2=0.從解析幾何的角度來說,這是一個焦點在軸上,對稱中心為圖像范圍在第一象限的部分雙曲線.從函數的角度來說,這是一個關于a,b的函數三角形面積所以需要通過三邊關系來確定的取值范圍,從而求出面積的最值.由于正弦定理與余弦定理的等價性,我們也可以用正弦定理來解決此問題.由于由正弦定理得三角形面積再通過角的關系找出C的取值范圍,從而求出面積的最值.

解法一(1)(過程略)

(2)由余弦定理b2=a2+c2－2accosB可得

由于ΔABC為銳角三角形,所以即

同理:

拓展延伸當三角形給定一個角度與其一鄰邊,如果我們從余弦定理入手的話,其實是研究一個二元二次方程的另外兩邊的變量關系.由于另外兩邊是一個函數關系式,當求其面積或者邊長的取值范圍的時候,可以利用導數研究函數的性質并求其范圍.該題也可以變式為求三角形的邊長關系.例如該三角形周長當a＞0 時,所以周長l在為增函數,所以周長l取值范圍為也可以解決更一般的問題,比如的取值范圍等.

解法二(1)(過程略)

(2)由正弦定理

可得

所以有……