樹立五種意識破解恒成立問題

浙江省金華第一中學(321015) 黃錦龍

既含參數又含變量的不等式恒成立問題之所以備受命題者的青睞,一方面是這類問題把不等式、函數、方程、幾何等內容有機結合起來,在知識的交會處命題,具有知識點多、綜合性強等特點,能體現出很好的區分度與選拔功能;另一方面是此類問題條件復雜,切入點難發現,能很好地檢測學生的數學能力.學習解決好不等式恒成立問題,能鞏固基礎知識,訓練基本技能,感悟基本思想,豐富基本活動經驗,提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力,促使數學學科核心素養落地開花.本文通過實例,以問題為導向,用五種意識對破解不等式恒成立問題作出解析,供讀者參考.

1 特值探路,驗證結論快捷解

例1(2018年3月溫州適應性考試) 已知f(x)=x2－ax,|f(f(x))|≤2 在[1,2]上恒成立,則實數a的最大值為____.

解析這是一道填空壓軸題,試題簡約而不簡單,若采取“強攻”,勢必很快“敗下陣”來.不妨先思考問題成立的必要條件,取特殊值框定a的范圍,由

所以f(x)在[f(1),f(2)]上單調遞減,而故實數a的最大值為完美解決!

例2(2018年6月浙江省數學學考) 設函數f(x)=3|ax|－(x+a)2,其中a ∈R.

(1)當a=1 時,求函數f(x)的值域;

(2)若對任意x ∈[a,a+1],恒有f(x)≥－1,求實數a的取值范圍.

解析(1) 略;(2) 注意到,僅對x分類討論,無法去絕對值,以化簡f(x)的解析式.那就抓住目標,從必要條件入手,先通過特殊值來縮小所求參數的范圍,為解題找到思考方向.因為對任意x ∈[a,a+1],恒有f(x)≥－1,所以

解得－1≤a≤0.

下面證明,當a ∈[－1,0],對任意x ∈[a,a+1],恒有f(x)≥－1,

①當a≤x≤0 時,

故f(x)≥min{f(a),f(0)}≥－1 成立;

②當0≤x≤a+1 時,

故f(x)≥min{f(a+1),f(0)}≥－1 成立.

由此……