關于距離問題的幾點思考

南京師范大學附屬中學江寧分校(211102) 姜 紅

1 問題呈現

近日筆者在教學中遇到這樣的一個問題:在正方形ABCD中,邊長AD=6,連接AC、BD,P是正方形邊或對角線上一點,若PD=2AP,求AP的長.

分析因為點P的位置可能在邊或者對角線上,畫出圖形后要分三種情況:P在AD上,P在AB上,P在AC上.另外三條線段上不存在滿足條件的的點.

解答:當點P在AD上時(如圖1),因為PD=2AP,所以當P在AB上 時(如 圖2),設AP2=x,則DP2=2x,在RtΔADP2中,x2+62=(2x)2,解得(負值舍去).當P在AC上時(如圖3),作P3Q⊥AD于點Q,設AQ=x,則P3Q=x,因為PD=2AP,所以RtΔDP3Q中,又因為AD=6,所以解得所以

綜上所述:

圖1

圖2

圖3

2 問題提煉

以上問題,因問題背景中正方形的特殊性,解題時可利用等腰直角三角形,設元建立方程求解.但是,到兩定點距離之比為1:2 的點的軌跡到底是什么呢?這個問題在中學數學中沒有特別研究過.平面幾何中,只研究過:到兩定點A、B距離相等(即距離之比為1:1)的點的軌跡,它是線段的中垂線.至于比值是1:2 的時候到底如何,不妨用工具先實驗一下.

3 實踐操作

幾何畫板繪制圖形后追蹤得——點P的軌跡是圓(如圖4).此圓與直線AB的交點C把線段AB內分為1:2,點D把線段AB外分為1:2.

據此實驗可猜想:此圓圓心的位置在線段BA延長線上點O處,且而OP是定長.(如圖5).以下來證明上面的猜想.

圖4

圖5

4 用平面幾何證圓

證法1 確定圓心與半徑

在BA延長線上取點O使得連接OP(如圖6).以下來證明OP的長為定長不妨設AP=y,AB=3x,則BP=2y,OA=x,在△PAB中,相當于知道三邊長,求高.作PH ⊥AB于點H,設AH=m,則BH=3x－m,由PH2=PA2－AH2=PB2－BH2得:y2－m2=(2y)2－(3x－m)2,解得:可得所以

即:點P到定點O的距離為定長2x.故點P的軌跡是以O為圓心,2x為半徑的圓.

證法2 確定圓……