人教社A版數(shù)學(xué)的一道B組習(xí)題之來(lái)龍去脈

安徽省安慶市第二中學(xué)東區(qū)(246003) 汪學(xué)思

命題已知0＜x＜1,0＜y＜1,求證:

并求使等式成立的條件.該題是人教社A 版數(shù)學(xué)必修2 第三章習(xí)題3.3 的B 組第8 題[1].

本題來(lái)源于一道競(jìng)賽題:“已知a、b是小于1 的正數(shù),求證

該命題我們很容易從不等式左邊的結(jié)構(gòu)上看出形似兩點(diǎn)間的距離公式,令點(diǎn)P(x,y)、O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)、C(0,1),利用兩點(diǎn)間的距離公式,則將不等式的左邊轉(zhuǎn)化為與正方形頂點(diǎn)有關(guān)的線段和問(wèn)題;即為正方形ABCO內(nèi)部一點(diǎn)P到頂點(diǎn)A,B,C,O的距離和.如圖1,得原題左邊=|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥|OB|+|AC|=當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于線段OB與AC的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào),此時(shí)

圖1

而此時(shí)P點(diǎn)也正是四邊形的費(fèi)馬點(diǎn):數(shù)學(xué)上到四邊形四個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)為四邊形的費(fèi)馬點(diǎn).它是這樣確定的:

(1)在凸四邊形ABCD中,費(fèi)馬點(diǎn)為兩對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)P;

(2)在凹四邊形ABCD中,費(fèi)馬點(diǎn)為凹頂點(diǎn)D(P).[3]

本題在這里既考查了兩點(diǎn)距離公式,又讓同學(xué)領(lǐng)悟到數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,既考查了距離的極值問(wèn)題,又可以結(jié)合著名的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)史的教育,激發(fā)學(xué)生在這方面的興趣,可謂一題多得.

我們?nèi)绻麑?duì)該題的證明過(guò)程及幾何意義進(jìn)行琢磨和推敲,就不難發(fā)現(xiàn)這樣的一個(gè)事實(shí):

推論1在正方形的內(nèi)接四邊形(指四邊形頂點(diǎn)分別在正方形的四條邊上)中,凡是各邊與正方形對(duì)角線分別垂直的四邊形周長(zhǎng)都相等且最小,等于兩倍的正方形對(duì)角線長(zhǎng);反之亦成立.

這個(gè)推論的證明如下:如圖2,∵四邊形EFGH各邊分別與正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD垂直,∴四邊形EFGH為矩形.

設(shè)該矩形與對(duì)角線分別交于I、J、K、L,則……