活躍在各類試題中的代換法

廣東省云浮市云浮中學(527300) 成永深

上海市行知中學(201999) 范廣哲

本文將從一道武漢大學自招題的另解出發(fā),探究代換法的作用技巧,以及代換法的種類,給出消元、代數(shù)對稱代換、三角形恒等式代換、三角對稱代換等四類代換思想,希望給學生們帶來幫忙.

1 消元

例1(2018年武漢大學自招不等式證明題)

已知a,b,c≥0 且ab+bc+ca=1,求證:

此題有不少讀者給出相應的解法,筆者給出消元調(diào)整法,希望對讀者有所幫忙.

證明不妨設c=max(a,b,c),根據(jù)條件,有于是

即(a+b)2ab≤2(1－ab)，因為所以于是

例2已知a,b,c＞0 且a+3b+c=9,求a+b2+c3的最小值.

解根據(jù)題意,有a=9－3b－c,則

所以欲使原式取得最小值,則需要c2＜1,而此時

故

評注以上2 例以“消元”思想達到解題效果.

2 代數(shù)對稱換元

例3設實數(shù)a,b＞0 且a+b=k,求使

解設其中則題中不等式即

整理得

例4已知a,b≥0 且a+b=1,求的取值范圍.

解設則

當u=0,a=b=pmax=2

評注設實數(shù)a,b＞0 且a+b=k,其中k為定值,均可代換

3 三角形恒等式代換

例5已知a,b,c＞0 且a2+b2+c2+2abc=1,求證:

證明由ΔABC三內(nèi)角A,B,C滿足恒等式

而題中0＜a,b,c＜1,因此可以考慮設

則

則不等式等價于

而

由三角形恒等式ΔABC三內(nèi)角A,B,C滿足恒等式

可以聯(lián)想問題:已知在ΔABC中,sinC=2 cosAcosB,求cos2A+cos2B的最大值.

解由于ΔABC三內(nèi)角A,B,C滿足恒等式

得,

因為C ∈(0,π),所以當且僅當時取等號,故cos2A+cos2B的最大值為

例6(中等數(shù)學2019年第三期613 問題)設a,b,c＞0且a2+b2+c2+abc=4,求證:a2b2+b2c2+c2a2+abc≤4.

證明由ΔABC三內(nèi)角A,B,C滿足恒等式

及a2+b2+c2+abc=4,可設a=2 cosA,b=2 cosB,c=2 cosC.等價于設由不等式(x+y)2≥4xy,得即

從而

整理得a2b2+b2c2+c2a2+abc≤4 證畢.

類似問題[1]:已知a,b,c＞0 且a2+b2+c2+abc=4,求證:2＜a+b+c≤3.

證明由ΔABC三內(nèi)角A,B,C滿足恒等式

及a2+b2+c2+abc=4,可設a=2 cosA,b=2 cosB,c=2 cosC,一方面,

可知

即

則

故a+b+c＞2.

另一方面,

綜上可知,2＜a+b+c≤3.

進一步證明安振平新浪博客4945 問題設a,b,c≥0 且a2+b2+c2+abc=4,求證:a3+b3+c3+2abc≥5.

證明依題意知,a,b,c不同時為零,若a,b,c中任意……