對《數學·必修4》的“三角函數”一章的修改建議*
——由正弦型函數y=A sin(ωx+φ)的圖象求解析式

廣東省肇慶市高要區第一中學(526100) 程華生

在高中數學《必修4》課本的第54頁,有個例2,原題如下:

如圖是某簡諧運動的圖象,試根據圖象回答下列問題:

(1)這個簡諧運動的振幅、周期與頻率各是多少?

(2)從O點算起,到曲線上的哪一點,表示完成了一次往復運動?如從A點算起呢?

(3)寫出這個簡諧運動的函數表達式.

解:(1)從圖象上可以看到,這個簡諧運動的振幅為2cm;周期為0.8s;頻率為

(2)如果從O點算起,到曲線上的D點,表示完成了一次往復運動;如從A點算起,則到曲線上的E點,表示完成了一次往復運動.

(3)設這個簡諧運動的函數表達式為y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞),那么,A=2;由得由圖象知初相φ=0.于是所求函數表達式是

對于這個例題,答案中說“由圖象知初相φ=0”,過于簡單.

在《必修4》教材里面,給出正弦型函數y=f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象——一段波浪線,要求求出函數解析式是一個重要專題,而在此類題目里,求φ是難點,經過多年的研究,我總結出求φ的兩大方法——最值法和關鍵點法.

先談談最值法吧!所謂的最值法就是將波浪線的最高點或最低點的坐標代入解析式從而求出φ,課本上的例2,就可以用最值法求出φ的值.

對于《必修4》課本第54頁的例2 的第(3)小題,我建議將答案修改完善一下,給出的答案如下:

（方法一）解:設這個簡諧運動的函數解析式為y=f(x)=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞).明顯可見:振幅A=2;T=0.8=解得:則波浪線的解析式為

下面的唯一任務就是求φ的值,此波浪線的一個最高點的坐標為(0.2,2),即x=0.2 時,y=2,代入解析式得:則φ=2kπ(k ∈Z).

當然,這樣的φ有無窮多個,大小相差2π的整數倍,我們可任取……