促進核心素養落地的有效途徑——體驗式概念教學

葉根福

摘 要：概念教學對學生數學素養的培養至關重要，教師從學生已有的認知和經驗出發，創設恰當的問題情境，讓學生不斷參與、體驗，是促進核心素養落地的有效途徑。以重要概念“函數的零點”為例揭示概念教學的深刻性與豐富性。

關鍵詞：核心素養;體驗式;概念教學

《普通高中數學課程標準（2017年版）》頒布后，如何在課堂教學中提升學生的數學核心素養，讓數學核心素養在課堂教學中落地、生根、發芽、開花、結果，成了廣大一線教師的熱門話題。概念教學過程中，根據學生的認知基礎，教師創設合理的問題情境，讓學生經歷深刻體驗知識的發生發展過程是使核心素養落地的有效途徑。

一、教學問題診斷分析

（一）具備的基礎

知識：①函數的概念與性質，一次函數、二次函數、反比例函數、冪函數、指數函數、對數函數的圖象與性質。

②二次函數的零點與對應的一元二次方程的解和對應二次函數圖象與軸交點的聯系。

能力：會畫簡單函數的圖象，也會通過圖象去分析函數的性質，具備初步的數形轉換能力。

（二）本課的目標需求

知識：函數的概念與性質，所學的基本初等函數的圖象與性質。

能力：①較強的綜合利用所學知識的能力。

②較強的動手動腦能力，較好的觀察分析圖象的能力，較高的抽象概括能力。

（三）可能存在的問題與障礙

由于目標需求中的能力需求是剛入高中不久的高一學生比較欠缺的，因此學生在學習過程中可能會遇到一些問題和障礙。

問題1：由于字面意思，學生可能會錯誤地把函數的零點理解為“點”。

問題2：學生能粗淺地理解三個等價關系，但在解決具體問題的過程中，難以加以應用。

問題3：如何得出函數零點存在的判定條件對多數學生會有困難。

問題4：初學函數零點存在性判定定理后，如何加以正確應用會遇到困難。

（四）應對策略（過程、方法）

策略1：概括出零點的定義后，教師馬上提問：我們可不可以這么理解，零點，就是使函數值為零的點？強調函數的零點是一個實數。在典型例題求函數零點的環節，教師呈現學生的解答過程，對出現把零點錯誤地寫成“點”的學生及時加以指正，使學生在親身體驗中對零點概念的掌握更加深刻。

策略2：在典型例題求函數零點的環節教師再次強調利用等價關系得到求函數零點的兩種基本方法：（1）解相應方程f（x）=0;（2）畫函數f（x）的簡圖，圖象與x軸交點的橫坐標即為所求。在求函數f（x）=lnx+2x-6的零點個數的教學中，引導學生利用等價關系把問題轉化為方程lnx+2x-6=0，即方程lnx=6-2x解的個數，再轉化為兩個函數y=lnx與6-2x的交點個數。在具體問題的解決中讓學生體驗三個等價關系，使學生的理解更加深刻。

策略3：教師多次用多媒體播放函數圖象穿過軸的動畫，激發學生的探究興趣，并引導學生發現當函數圖象穿過x軸時，函數符號改變，從而自己得出函數y=f（x）在區間[a，b]內存在零點的條件，讓學生體驗從幾何直觀到代數表達的抽象過程。

策略4：教師通過多個問題（詳見教學過程設計）讓學生自主探究，在黑板上舉出各種反例，通過具體問題——求函數f（x）=lnx+2x-6的零點個數的解決，讓學生對定理理解得更加深刻。

二、教學過程設計

（一）讀數學史，引入新課

在人類用智慧架設的無數座從未知通向已知的金橋中，方程的求解是其中璀璨的一座，今天的我們可以從教科書中查到各式各樣方程的解法，但這一切經歷了漫長的歲月。在這個過程中，我國歷朝歷代的數學家們做出了巨大的貢獻。

（1）我國古代數學家于公元50～100年合力編成的《九章算術》，系統地給出了一次方程、二次方程的解法。

（2）11世紀，北宋數學家賈憲給出了三次方程的解法。

（3）13世紀，南宋數學家秦九韶給出了高次方程正根的解法。

（4）19世紀挪威數學家阿貝爾證明了五次及五次以上的方程沒有一般形式的代數解。

方程的解，我們在初中已經學習過了，主要是以代數計算的方式進行求解，側重“數”的方面的研究。這節課不僅要從“數”，還要從“形”的方面去研究“方程的解”。（教師板書《函數的零點與方程的解》）

設計意圖：通過恰當的數學史知識引入，不僅能傳播數學文化，還能激起學生的好奇心，激發學生的數學學習興趣，培養學生的數學文化和人文素養。

（二）復習鞏固，類比等價關系

問題：通過之前的學習，你能說說二次函數y=ax2+bx+c的零點與一元二次方程ax2+bx+c=0的解之間的關系嗎？

引導學生得出：（1）一元二次方程解的個數就是對應二次函數圖象與軸交點的個數。

（2）一元二次方程的實數根就是對應二次函數圖象與軸交點的橫坐標。

設計意圖：復習二次函數的零點與對應一元二次方程的根之間的關系，為推廣到更一般的函數零點與方程的解的關系做好鋪墊。

教師概括定義：與二次函數的零點一樣，對函數y=f（x），我們把使f（x）=0的實數叫作函數y=f（x）的零點。

問題：我們可不可以這么理解，零點，就是使函數值為零的點？

設計意圖：通過師生對話再次強調，零點不是一個點而是一個實數。

通過對二次函數的學習，引導學生歸納等價關系：

函數y=f（x）有零點？圳方程f（x）=0有實數解？圳函數y=f（x）的圖象與x軸有交點。

師生共同小結：這個關系告訴我們，函數f（x）有零點，從“數”的角度理解，就是方程f（x）=0有實數解，從“形”的角度理解，就是函數y=f（x）的圖象與x軸有交點。這個關系體現了數學結合的重要思想。不僅如此，它為我們今后函數問題與方程問題的相互轉化提供了有力的依據。

設計意圖：由于學生對二次函數的零點、對應一元二次方程的根、二次函數的圖象與x軸的交點之間的關系已經掌握清楚，因此可以引導學生用類比推理的方法得到一般的關系，發展學生的邏輯推理素養。

（三）典型例題，鞏固提高

例：求下列函數的零點。

設計說明：先讓學生獨立完成，然后用實物投影儀展示學生的解答過程，然后教師點評，對學生的各種錯誤及時糾正。踐行“學生先行，交流呈現，教師斷后”的教學理念，同時通過典型例題的“做”培養學生的運算能力，發展學生的數學運算素養。

師生共同歸納：根據同學們的解答，我們不難得出，求函數零點的兩種基本方法：我們可以解對應的方程f（x）=0，方程的解就是函數的零點;也可以畫出函數y=f（x）的圖象，圖象與軸交點的橫坐標就是函數零點。

（四）合作探究，揭示定理

問題：是不是所有函數都有零點？如何判定一個函數在什么情況下存在零點呢？

教師引導：不難發現，當函數圖象穿過軸時，圖象就與軸產生了交點，這個時候函數必存在零點。圖象穿過軸是一種幾何現象，如何把這種現象用代數語言表述出來呢？請同學們仔細觀察，并認真思考。

設計說明：零點存在性定理的探究是本節課的一個難點，如果完全放手讓學生探究，很可能導致學生無從下手，因此在學生經歷一定時間的思考、想象后，教師加以適當的引導非常重要。引導學生把幾何現象用代數語言表述出來，實現將直觀想象與數學抽象素養在課堂上落地。

學生探究：當函數圖象穿過x軸時，函數值由負變正（圖1）或由正變負（圖2）。總而言之，當函數圖象穿過x軸時，函數符號改變。

教師活動：不經意間，同學們說出了數學中的一個重要定理——函數零點存在性判定定理。

討論交流：

判斷下列說法是否正確，若正確，請說明理由。若不正確，請舉出反例。

（1）已知函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，且f（a）f（b）>0，則f（x）在區間（a，b）內沒有零點。（? ）

（2）已知函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，且f（a）f（b）<0，則f（x）在區間（a，b）內有且僅有一個零點。（）

學生活動：

設計說明：兩個問題的探究有助于讓學生更加深刻地理解定理，對定理的條件與結論更加清楚，意義重大。同時通過具體事例的思考，再次發展學生的直觀想象素養。

問題：那加個什么條件可以判定函數y=f（x）在區間[a，b]內的零點個數呢？

學生活動：函數y=f（x）在區間[a，b]上具有單調性。

（五）問題解決，首尾呼應

例：求函數f（x）=lnx+2x-6的零點個數。

設計說明：這里應用了本節課的重點與難點——零點存在性判定定理解決了上課時提出的問題，既達到了首尾呼應的目的，又達到了應用新知解決問題的目的。

（六）挑戰自我，能力提升

1.已知f（x）是定義域為R的奇函數，在（0，+∞）上是增函數，且圖象是連續不斷的一條曲線，若f（1）=-2，f（2）=3，則f（x）的零點個數為（? ）

A.3個 B.2個 C.1個 D.不能確定

2.若函數f（x）=x2-4x-a至少有三個零點，則a的取值范圍是________。

三、教學評價

教學評價的及時有效能調動課堂的氣氛、感染學生的情緒，對課堂教學發揮著積極的推動作用，因此，教師要將教學評價貫穿于每個教學環節中。如回答問題時的肯定性評價、得出函數零點概念的歸納評價、作圖時的準確性與規范性評價、解題時的科學性與規范性評價、小結時的表述性評價等。在學生交流、討論、探究等環節注意啟發學生完成知識互評、能力互評，通過多種評價方式讓更多的學生獲得學習的自信，在輕松融洽的課堂評價氛圍中完成本節課的教學和學習任務。當然，通過對學生作業的批改可以更全面地對學生的知識掌握情況進行評價和課堂效果進行反思，并在后續的時間里修訂課堂設計方案，達到預期的教學效果，實現數學核心素養成功落地開花的結果。

四、教學反思

正如李邦河院士所說：“數學玩的就是概念。”教學中對概念教學怎么重視都不為過。通過現實問題情境、數學史、復習類比等方法引出概念，看似浪費了不少時間，但真正實現了讓學生經歷知識的發生發展，能讓學生對新學數學概念理解得更加深刻。同樣的，讓學生在課堂中探究公式、定理的發現過程，教師要“耐得住寂寞”，讓學生有充分的時間思考，靜待花開，通過指導學生在知識的形成過程中發展數學核心素養。總之，數學核心素養提升的主體是學生，提升數學核心素養的基本渠道是數學學習的過程，在教學中不斷讓學生體驗、參與，是促進核心素養落地的有效途徑。

編輯 溫雪蓮