探究高中數學向量教學的有效方法

何建安　王玉宏

摘 要：向量又稱之為矢量、歐幾里得向量，區別于數量，是一種帶有方向和大小的量。其數學符號一般表達為帶有箭頭的線段，箭頭表示向量的方向，線段長短表示向量的大小。在高中數學教學中，向量的應用是非常關鍵的。原因是其數形結合的特點可以使復雜的數學問題變得簡單化、清晰化以及系統化，對于幫助理清解題思路、探求解題方法具有積極作用。因此，在高中課堂教學中，如何幫助學生在解題過程中合理地應用向量，進而更好地提高教學效率與教學質量，是教師們所要面臨的重要問題。

關鍵詞：高中數學;向量教學;有效方法

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】B? ? 【文章編號】1008-1216（2020）05B-0125-02

向量作為一種數學符號，在我國高中數學應用中非常廣泛的。由于其具有方向性與數量性的雙重特點，在進行復雜的代數運算或是解析立體幾何時具有簡化結構流程、梳理解題方法以及明確數據變量的作用，對于明確思路、探求方法以及提高效果作用積極。比如在幾何應用中，向量可以很好的反應各個點、線、面之間的聯系，起到替代定量的作用，為學生更好地解題求量提供了便捷。在代數運算中，向量的應用可以將復雜的公式簡單化，創新解題方法、提高解題效率，是代數運算中的一種重要工具。對于教師而言，有效地應用向量教學，可以幫助學生提高學習成績、發散學生思維以及開發學生智力，同時對于提高教學質量以及拓展學生思路也具有積極作用。現階段，我國高中數學教學中向量的應用存在一些問題，學生學習積極性不足，缺乏向量應用的意識。

一、概念及以及意義

向量作為一種數學工具，由于其多樣性的特點，可以使數學與其他學科形成緊密的聯系，使不同學科之間具備互通性與相容性的特點。比如說在物理應用中，離心加速度的計算以及表示方法就很好地應用了向量的概念。還有進行表示物體的位移以及衛星運行軌跡等問題上也有效的融入了向量的概念。由于向量具有空間性與數量性的特點，在立體幾何與代數運算的教學中具有非常重要的應用價值。比如在立體幾何中，向量是以空間基礎作為基點，利用線段與箭頭的方式，反映出位置變量的形態，具有數形結合的重要特點。在立體幾何圖形中，將向量合理的引入，可以有效地反應點與點、線與線以及面與面之間的空間位置以及聯系，是未知變量能夠更具形象化與清晰化，進而使學生更好地明白題目中各個變量的關系，為解題提供幫助。在代數運算中，由于多數計算過于繁瑣，單純數量的計算具有一定的局限性。向量的有效帶入可以使復雜公式簡單、明了化，進而提高解題的正確率與便捷性，對于我國高中數學教學意義重大。

二、重要應用

（一）代數中的應用

在代數應用中引入向量概念，可以提供很好地解題思路，優化解題方法，使復雜的解題過程更加簡單化、清晰化以及明了華，對于提高教學效率，改善教學質量，幫助學生建立起科學、系統的數學思維以及變量應用意識效果顯著。同時對創新教育方法、變量應用的科學化、高效化引用教學作用積極，也是我國高中數學教學的關鍵組成。

以人教版高一數學必修課課后作業為例，其中有一道題目是關于向量在三角函數中的應用題目。

例題1：已知cosα+cosβ-cos（α+β），對兩個銳角α與β的值進行計算。

解析過程如下：由題意得（1-cosβ）cosα+sinβsinα=3/2-cosβ。

設=（1-cosβ，sinβ），=（cosα，sinα），那么*=3/2-cosβ。

則||*||=。

因為|*|≤||*||，所以|3/2-cosβ≤。

那么cosβ=1/2，根據上述公式便可以求出β=π/3，將其帶入原公式中，便可得出最終結構。

在題目當中運用向量巧妙地代替了1-cosβ，sinβ。使三角函數的復雜公式變為了簡單的數學求解，將復雜的函數關系進行了優化與簡列。響亮的運用能夠提高解題效率，讓學生掌握新的解題思路，使解題方式新穎、便捷并且高效，對于創新解題方式、提高教學效率有著積極作用的。

以人教版高二數學必修課課后作業為例，其中有一道題目是關于向量在代數不等式的應用題目。

例題2：對公式

進行證明。

解析：從不等式的左邊 ，設向量a=（x-2，3），b=（5-x，1），進而證明不等式成立。

通過這種方法可以得出：運用三角函數解析的話，數據公式較為繁瑣，其出錯率較高，而運用向量a=（x-2，3），b=（5-x，1）可以有效的簡化公式，使計算方法變得簡單、高效。可以算出向量在三角函數的運用中起到了重要的支持作用。

（二）幾何中的應用

立體幾何是一種空間感較強，解題思路較為繁瑣的題目。科學、合理地引用向量解題可以使解題過程更加簡捷化、清晰化，對于有效分析立體幾何中的圖形關系，探尋各個點、線、面之間的幾何關系效果顯著，在我國高中幾何教學中的應用意義重大。

以人教版高二數學必修課課后作業為例，其中有一道題目是關于向量在立體幾何匯總的應用題目。

【例題】如下圖中線段SAD和SBC垂直，求相鄰側面SAB與SAD的夾角。

解析：以O為坐標原點，建立坐標系Oxyz，使Oy∥AB，Ox∥AD。

設正方形邊長是2a，高是h，那么=（-a，a，h），=（2a，0，0），設平面SAD的一個法向量為n1=（x，y，z）。由于n1⊥，同時n1⊥，所以n1=（0，-h，a），又因為=（2a，0，0），=（-a，-a，h），由此可知SBC的一個法向量n2=（0，-h，-a），求出n1=（0，-1，-1），n2=（0，-1，-1）。

面SAB的法向量n3=（1，0，1），所以cos=n2n3/|n2||n3|=-1/2。最終得出結論，SAB與SAD面夾角為120°。

上述解題方法主要是通過將面與面質量的數量夾角轉變為變量夾角，如此一來，便可節省平面角度之間的轉換。使立體幾何面與面之間的夾角轉變為兩個矢量之間的夾角，進而優化解題過程，明晰解題思路，同時對提高解題效率，創新解題方法效果顯著。

三、實施方法

向量在高中數學課堂教學中的應用效果是顯而易見的，在數學解題過程中起到的作用也是非常巨大的。因此，將向量科學、合理地融入高中課堂教學，幫助學生建立向量運用意識，使其成為一種數學習慣，對學生成績的提高以及教學發展意義重大。為了使向量應用于課堂教學形成有效結合，通過分析與探討可以總結為以下三點：一是提高向量應用的重視程度，教師首先要重視向量在解題中的有效應用。將向量作為一種解題思路，正確、合理地進行應用。其次，進行案例的實際教學。例如在進行三角函數有關題目的解答時，通過運用對比的方式，先使用一般的方法進行解析，再引入向量的方法進行解析。

然后對比兩者之間的差異性，以此提高向量應用的價值，激發學生的學習興趣，使向量能夠更好地應用于高中數學教學。三是注重向量的教學方法，使向量的教學能夠更具專業化、系統化以及高效化。比如采用分組教學以及小組競爭的形式，老師先將問題提出，然后讓學生進行探討學習。以此來提高教學效率，激發學生的學習積極性，使向量教學能夠與課堂教學形成有效的融合，進而提高我國高中教學的教學質量。

向量教學在我國高中數學課程中占有很重要的地位，因此，應更好地將向量概念引入數學課堂中，應用于數學解題中，這對提高教學效率、降低教學難度以及創新解題技巧具有積極作用，也是對教學方法的重要創新。

參考文獻：

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