義務教育階段的直觀想象及培養

孔凡哲 教育學博士，中南民族大學教育學院副院長、二級教授、博士生導師，中南民族大學教育碩士學位中心主任，湖北民族教育研究中心主任，全國高考數學命題專家，國家義務教育數學課程標準研制組核心成員，高中數學課程標準研制組成員，教育部中學教師專業標準研制組成員、義務教育質量監測專家、教育現代化縣級示范區評估專家、哲學社會科學重大重點項目評審專家;主持完成國家、省部級以上科研項目12項;出版專著47部;先后獲得教育部第七屆高等學校科學研究（人文社會科學）優秀成果獎著作獎、教育部第四屆全國教育科學優秀成果獎著作獎、教育部第五屆全國教育科學優秀成果獎著作獎等獎項。

數學素養是現代社會每一個人應該具備的基本素養，直觀想象是其中的一種重要素養，因此數學課程標準把培養直觀想象列入課程目標。培養和發展中小學生的直觀想象既是數學學習所必需，又是學生未來生存和創造的基礎。

直觀想象指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形理解解決數學問題的素養。直觀想象主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律;利用圖形描述分析數學問題，建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。直觀想象具體表現為：感悟實物與圖形、圖形與圖形之間的相互轉換關系;建立形與數之間的聯系;利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物。直觀想象的核心成分是“空間想象”和“幾何直觀”。空間想象涉及“圖形與幾何”的大部分內容，在這些內容的課程教學中，發展空間想象集中體現為“實像—抽象—想象—活動”四要素，而幾何直觀幾乎涉及所有數學課程內容。發展幾何想象需要統籌滲透，集中培養。

一、把握“實像—抽象—想象—活動”四要素，發展空間想象

第一，實像——幾何操作。這里的操作，既可以是實物操作，也可以是模擬場景下的操作，還可以是抽象層面的操作。例如：

【案例1】 小貓、猴子、長頸鹿到好朋友大象家做客，看到客廳的擺件臺（全貌圖如圖1所示）。你認為3幅圖分別是誰看到的畫面？為什么？

[分析] 小貓、猴子、長頸鹿的身高決定了其觀察的視角——長頸鹿是俯視，猴子是平視，小貓是仰視。俯視是上面的圖形顯得大、下層的東西顯得小，而且能看到第一層擺臺的上面;平視只能看到中間擺臺的一條棱和第一層擺臺的底面;仰視只能看到擺臺第一層的底，而看不到第一層的上面。所以，圖2是猴子看到的畫面，圖3是小貓看到的畫面，圖4是長頸鹿看到的畫面。

第二，抽象，包括幾何概念的抽象、圖形的抽象、圖形性質的探討。首先，這里包含幾何概念的抽象過程。例如：“角”的概念的抽象過程——讓學生親身經歷“從一點出發的兩條射線所圍成的圖形就是角”。其次，經歷從大量生活原型中抽象出結論的過程，既是發展圖形抽象能力，也是空間想象的形成過程。不僅如此，操作之中的想象與想象之后的操作驗證，都是空間想象形成所必需的。先想象一下，再動手（幾何）操作，再回想（幾何）操作的過程，是培養空間想象的重要環節。

第三，想象——借助相應的課程內容，采用輔助手段（如手機的照相功能、特定軟件等），能培養學生的想象能力。例如，動態軟件生成的方位判斷：軟件呈現的是一個人站在天安門廣場中央環視廣場的場景，學習者可以拖動鼠標滑動畫面，形成人在廣場上轉動可以看到廣場東西南北各個場景畫面的效果。如果告知你某一個畫面（比如，天安門城樓）是北面，那么，南面是哪個畫面？東面、西面又分別是哪個畫面？

這個軟件的最大優勢是利用軟件模擬身臨其境的效果。拖動鼠標達到親眼看到東西南北場景的效果，其中包含了空間推理，凸顯了空間想象中的方位感的作用，是訓練方位感非常好的工具。

第四，特定的活動——必須讓學生親身經歷的幾何活動。學生在活動中感悟、體會，才能逐步形成空間想象。例如：

【案例2】 右圖是在上海外灘拍到的不同視角的照片。你認為圖6～圖9大致是在哪個方位拍攝的？為什么？

總之，把握實物與相應的平面圖形、幾何體與其展開圖和三視圖之間的相互轉換關系，不僅是一個思考過程，也是實際操作過程。把上述表現進一步延伸，就是嘗試著物化那些感知到的、在直觀水平上有所把握的轉化關系，能采用適當的方式描述物體間的相互關系，能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形，能根據條件做出立體模型或畫出圖形，重現感知過的平面圖形或空間物體。無論是做立體模型，還是畫出圖形，都要在頭腦加工和組合的基礎上通過實際嘗試和動手操作來實現。這種重現能使幾何事實基于直觀的表象、聯想和特征得到實實在在的表示，使直觀想象從感知不斷發展為一種可以把握的能力。

二、把握幾何直觀的具體表現

在義務教育數學課程中，幾何直觀具體表現為如下4種表現形式：一是實物直觀，二是簡約符號直觀，三是圖形直觀，四是替代物直觀。

實物直觀即實物層面的幾何直觀，指以與研究對象有著一定關聯的現實世界中的實際存在物為參照物，借助其與研究對象之間的關聯，進行簡捷、形象的思考，獲得針對研究對象的深刻判斷的能力。例如：在小學數學“數位”的學習中，10根小棒捆成一捆，10捆裝成一箱，這里的一根小棒、一捆小棒、一箱小棒，就是針對個位1、十位10、百位100的實物直觀形式，雖然量綱“捆”“箱”有人為規定的成分，卻與常理相符。

簡約符號直觀即簡約符號層面的幾何直觀，是在實物直觀的基礎上進行一定程度的抽象所形成的半符號化的直觀。例如，在行程問題中，常用的線路圖就是一種簡約的、符號化的直觀圖示。圖10也是這種類型，是針對代數關系的簡約符號直觀形式。

這種簡約符號直觀是經過一定的數學抽象而形成的，與現實生活原型相比，具有一定程度的抽象性。憑借這種圖示分析解決問題，就是簡約符號層面的直觀（能力）在發揮作用。

圖形直觀是以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀。圖11就是代數法則（a+b）c=ac+bc的直觀圖形。憑借圖11，學生可以輕松自如地理解（a+b）c=ac+bc。

替代物直觀是一種復合的幾何直觀，既可以依托簡捷的直觀圖形，也可以依托用語言或學科表征物所代表的直觀形式，還可以是實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀的復合物。計算“28+7”，可以借助計數器來表示，也可以借助“10個雞蛋一盒”或“10根小棒一捆”來分析。對于“28+7”來說，計數器、“一捆小棒”“一盒雞蛋”就是相應的直觀圖形的替代物。而在統計問題中，借助一個圓片代表樣本數據“1”可以很好地理解“移多補少”，進而掌握“平均數”的概念。這里的“圓片”就是樣本數據“1”的替代物。

一般地，“實物直觀“通常是現實世界中存在的實物模型，能比較直觀地體現某些數學對象的特殊屬性，屬于最低級的抽象。”替代物直觀“是在現實模型基礎上的進一步抽象，已經具備一定的抽象高度。以計數器為例，與“小棒”相比，計數器已經將數位的含義明確表示出來（具有普適性和公共的約定性），而不是某些人的人為規定（例如，有的學生將一把小棒捆成一捆，而未必是10根一捆）。與“替代物直觀”相比，“圖形直觀”的抽象程度更高、綜合程度更強。例如：圖11就將代數關系（a+b）c=ac+bc很巧妙地融合在三個矩形之間的面積關系之中，既有代數的抽象，又有幾何圖形的抽象。

三、將直觀想象的培養融入數學課程內容之中

第一，空間想象需要滲透在“圖形與幾何”學習的方方面面，而幾何直觀需要滲透在數學學習的各個領域，特別是在“數與代數”“統計與概率”“實踐與綜合”領域。

首先，幾何中的幾何直觀無處不在。義務教育階段數學中的幾何學主要訴諸學生的直觀感受，借以識別各種不同的幾何圖形及其關系。反映幾何直觀的相關內容是一切幾何學的基礎，貫穿于幾何學領域（即“圖形與幾何”）之中。這些內容既是經驗幾何的中心內容，也是推理幾何的重要參照和素材。因而，讓幾何“動”起來、數形結合等，都是為了有效發揮幾何直觀的作用，更好地培養學生的直觀想象。例如：通過觀察、操作等活動，進一步認識三角形、平行四邊形、梯形、長方體、正方體等幾何形體;利用學生常見的事物引導學生感受和探索圖形的特征，豐富幾何活動經驗，建立初步的空間想象和幾何直觀，等等。因而，積累幾何活動經驗就成為幾何教育的一個更加直接的目標和追求。擁有豐富的幾何活動經驗并且善于反思的人，他的幾何直觀更有可能達到更高水平。

其次，“數與代數”中的幾何直觀是理解和把握代數抽象的有力工具。對于相對抽象的數與代數來說，恰當的幾何直觀往往是幫助學生建構理解的有力“抓手”。更一般地，幾何直觀有助于將抽象的數學對象直觀化、顯性化。因而，在“數與代數”中，尋找數學對象的直觀模型是有效發揮幾何直觀的重要環節之一，也是培養幾何直觀的有效途徑。

第二，就九年一貫制教育的整體而言，隨著年級的升高，幾何直觀的層次需要逐級提升，從最初側重于實物直觀、關注實物抽象，逐步過渡到以符號直觀、圖形直觀為主，實物直觀為輔，即重點關注符號抽象、圖形抽象。而空間想象的發展涵蓋“根據物體特征抽象出幾何圖形”“根據幾何圖形想象出所描述的實際物體”“想象出物體的方位和相互之間的位置關系”“描述圖形的運動和變化”“依據語言描述畫出圖形”等，而不可局限在某些方面，比如從實物到圖形的轉換。

第三，培養和發展直觀想象，必須與思維水平提升、“四能”培養結合起來。

幾何直觀有助于將抽象的數學對象直觀化、顯性化，因而，尋找數學對象的直觀模型是有效發揮幾何直觀的重要環節之一。借助恰當的圖形、幾何模型進行解釋，能夠啟迪思路，幫助學生理解和接受抽象的內容和方法，而抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學生創造了主動思考的機會和揭示經驗的策略，能使學生從洞察和想象的內部源泉入手，通過自主探索、發現和再創造，經歷反思性循環，體驗和感受數學發現的過程。數學發展的歷程表明，越是高度抽象的數學內容，越需要形象直觀的模型作為其解釋和支撐，即使是推理幾何的功臣歐幾里德，在進行幾何學的論述過程中仍然依賴了頭腦中的圖形直觀。無論是數學家的研究，還是學生的數學學習，直觀本身不是目的，而是手段。對數學學習而言，直觀是為了形成學生的生動表象并借以形成概念、發展規律，促進抽象思維的發展。

幾何直觀需要較高的思維水平，從而更需要教師在日常教學中不斷地、主動地運用幾何直觀幫助學生建構自己的數學理解，有意識地培養學生的整體思維方式和數形結合意識，幫助學生把握起核心作用的那些基本圖形，如三角形、正方形等。

教師具有培養學生直觀想象的自覺意識是重要的，而將直觀想象的培養自始至終落實在數學課程教學的每個環節是至關重要的。這種工作以保護學生先天的直觀潛質為起點，以有效提升學生的直觀想象水平為終點，最終目的是讓學生形成針對幾何的敏銳洞察力和深厚的數學素養。

責任編輯? 姜楚華