平面圖形“高”的學習困難分析與教學嘗試

黃德發

摘要：在教學中發現，許多學生對“高”的理解存在困難，主要源自生活經驗與數學內涵之間的沖突。在三角形高的教學中，教師要注意建立數學與生活的聯系，找準知識生長點，注意加強比較，觸及概念本質，實現理解再提升，促進深度學習。

關鍵詞：小學數學 ?教學嘗試 ?平面圖形 ?高

人教版四年級上冊平行四邊形和梯形單元，涉及平面圖形“高”的知識。許多學生對“高”的理解不夠透徹，在辨認和作圖中會出現很多錯誤。在與其他教師的交流中，筆者發現這不是偶然現象，必定有深層次的原因，有必要探根求源，找到破解方法，重塑學生對“高”的認識。

一、探尋“高”的意義，尋求問題根源

（一）何為高？

在日常生活中，我們說這個物體有多高，一般都是指物體的高度，即頂部到地面的距離。這些生活經驗使學生很容易辨認豎著的高，而對其他形式的高難以理解。顯然，學生把生活中的高與幾何圖形的高混為一談了。因此，學生對幾何圖形的高存在認知困難，存在著深厚的生活根源。

（二）何為平面圖形的高？

在小學階段，我們學習的高主要指的是平行四邊形、梯形和三角形的高。人教版教材對平行四邊形的高是這樣說的：從平行四邊形一條邊上的一點向對邊引垂線，這點到垂足之間的線段就是平行四邊形的高。對于梯形的高教材上只給了一幅圖，讓學生直觀感知，其實與平行四邊形的高類似。

四年級下冊對三角形的高是這樣定義的：從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點到垂足之間的線段叫作三角形的高。

不難發現，兩條平行線之間的垂線段就是平行四邊形或梯形的高，頂點到對邊的垂線段就是三角形的高。高的本質其實就是點到直線的垂線段。

教材中對“高”概念的描述，學生是不容易理解的。要想理解“高”的概念需要“頂點”“對邊”“垂線”“垂足”等眾多概念為支撐，而這些概念也是剛學習的，要理解“高”的概念實在是個挑戰。

（三）生活中的高與平面圖形的高有何聯系和區別？

1.聯系緊密。平面圖形的高是高的本義的延伸，生活中通常所說的“高”，一般是指與水平線垂直的線段的長度，這為學生理解平面圖形豎直方向的“高”提供了便利。

2.區別明顯。首先，平面圖形的“高”一般指的是垂線段，這一點和生活中所說的“高”有所區別，但并不明顯，因為平面圖形的“高”也會用來表示垂線段的長度。其次平面圖形的高，并不一定是豎直的，除非它的底是水平的。平面圖形的高是與底垂直的，而底可以與水平方向成任何角度。這就與學生的生活經驗產生沖突，進而產生學習困難。如圖1，右圖虛線是三角形的高，而左邊圖中的虛線則和金字塔的高并無關系。這就體現了數學源于生活卻高于生活。

圖1通過以上三個問題的分析，我們不難發現，除了概念表述本身難以理解，學生對高的認識困難主要源自生活經驗與數學內涵之間的沖突。

二、結合三角形高的認識，重建“高”的概念。

基于以上的分析，筆者認為，“高”的學習，既要扎根于現實生活，也要立足于數學內涵。因此，在三角形高的教學中，我把它擺在了一個非常重要的位置。

三角形的高相對于平行四邊形和梯形的高，更具有復雜性，三角形有三條不同的高，鈍角三角形有形外高，直角三角形有兩條高與邊重合。如何突破這些難點，讓學生深刻理解？教學中可以從以下三個方面進行了有效嘗試。

（一）建立聯系，找準知識生長點

“高”的概念來源于生活，為了建立聯系，教學中從學生熟悉的“量身高”引入，有效地激活學生的生活經驗。

課堂實錄：

師：三角形ABC與三角形DEF是好朋友，有一天他們要去量身高，同學們你們量過身高嗎？

生：量過。

師：你們是怎么量身高的呢？出示下圖

生：站直，上面的標尺要放到頭頂上。

師：那么，這個同學的身高是從哪到哪呢？

生：從頭頂到腳底。

師板書：頭頂 腳底 站直了

在測量身高的情境中，學生感受到頭頂與腳底之間的垂直長度就是身高，為感知圖形的高初步建立與生活的聯系。

課堂實錄：

師：三角形ABC要去量身高，想一想，他的身高應該是從哪兒到哪兒呢？

生：從點A到BC。

師：從點A到BC有很多種方法。（師用手勢比畫多條線路）到底是哪一條呢？

生1：豎直的那一條。

生2：與BC垂直的那一條。

師：你能畫出它嗎？應該怎樣畫？

生：用三角尺直角去畫。（學生畫出這條線）

師：用自己的話說一說，這是怎樣的一條線？

生：從頂點A到對邊BC畫的一條垂線。

師板書：頂點 對邊作垂線

師生小結高的概念，并說明：這條對邊就像人的腳底一樣，我們稱之為“底”。

通過激發生活經驗，學生建立了頭頂與頂點，腳底與對邊之間的關聯，建立了數學與生活的聯系，初步感受到高的一般形態。

（二）加強比較，豐富高的表象

平面圖形的高與生活中的高有顯著的區別，由于學生經驗的不足，對高的認識很容易停留在“豎直”經驗上，為此，必須進一步加強與生活中高的比較，豐富幾何圖形高的表象。

課堂實錄：

在比較三角形ABC與三角形DEF身高之后，創設如下情境：

師：三角形DEF比身高獲勝，高興得又蹦又跳，一不小心，腳下一滑，摔倒了（出示下圖），三角形ABC看見了，笑著說：哈哈，你的個子變矮了。

師：同學們，這時，三角形DEF的個子是多高，你能指出來嗎？

學生指出三角形的高，課件用虛線呈現。

師：為什么這也是三角形的高呢？

生：因為這是頂點E到對邊FD的距離。

師：那么，剛才我們從D點畫出的那條線還是三角形的高嗎？

生：不是

師：說出你的理由。

生：因為他不是豎直的

師：“高”一定要豎直的？

生：不一定，它應該還是三角形的高，因為剛才老師說了，從頂點到對邊作垂線，這條垂線段的長度就是他的高。D是三角形的頂點，EF是它的對邊，而且這條線垂直EF，所以它也是三角形的高。

師：你們認為呢？（經討論學生逐漸認同）

師：當自己不太確定的時候，我們可以根據它的定義來判斷。從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，頂點到垂足之間的線段就是它的高。符合這個定義它就是高。從這里我們也可以看出，高有時候不是豎直的，和我們身高不一樣，和我們生活中說的物體的高度也是有區別的。

師：想一想，一個三角形有幾條高呢？為什么？

對高的認識，我們不能僅停留在生活經驗上，既要從生活中來，又要高于生活，通過這樣情境的創設，不斷豐富“高”的表象，學生對高的認識達到了新的高度，有效地避免了“豎直”經驗的干擾，學會理性地從數學概念來進行推理判斷，培養學生的理性精神。

（三）觸及本質，實現再提升

畫“高”其實就是過直線外一點作已知直線的垂線，但由于受到三角形另外兩條邊的影響，學生容易出現這樣那樣的錯誤，因此，我們把高的學習與舊知聯系起來，使學生進一步感受到高的本質，實現理解的再提升。

課堂實錄：

依次出現下面兩個問題，讓學生獨立解答。

問題1：小明家的旁邊有條河，小明爸爸想修一條路到河邊，怎樣修最近呢？你能畫出這條路嗎？

問題2：小紅家的旁邊也有一條河，小紅家到這條河有兩條路，不過，她爸爸覺得這兩條路都比較遠，想修一條最近的路，她該怎么修呢？

完成后，引導學生討論。

師：在畫這兩條小路的過程中，你有什么發現嗎？

生1：都要畫垂線，與小河垂直。

生2：他們的畫法一樣。

生3：第二個圖中，原來的兩條路和小河構成一個三角形，這條最近的路就是三角形的高。

生4：三角形的高和點到直線的距離是一樣的。

師：說得真好，通過剛才的討論，我們知道高其實并不神秘，他就是以前我們所認識的點到直線的垂線段。因此，在畫三角形高的時候，有時可以忽略另外兩條邊。

師：通過學習，你認為為什么要研究三角形的高呢？

生1：因為我們知道，點到直線的所有連線中垂線段最短，因此三角形的高就是頂點到對邊最短的一條線。

生2：這條線最短，很特殊，值得研究。

師：“高”正因為它的特殊性，在解決許多圖形問題中發揮著重要的作用。因此，我們大家一定要學好它，用好它。

建立新舊知識之間的聯系，能使學生建構更加完整的知識體系，有利于學生站在新的高度重新審視所學知識。

總之，數學產生于生產實踐。在教學中，我們既要抓住它們之間的聯系，也要注意它們之間的區別，從更加理性的角度找到學生學習數學知識的生長點，把握數學概念的內涵和本質，讓學生在思辨的過程中得到思維的發展。