函數與方程思想在解題中的應用及其教學策略

關香貽

摘要：數學思想方法一直都是高考考查的重點內容，而函數與方程思想方法正是其中其一，是中學數學的重要內容，占據了重要的地位。必須要在教學的過程中深刻理解函數的本質，從函數與方程思想的角度指導學生解題，才能幫助學生提高解決問題的能力。

關鍵詞：數學思想方法，函數與方程思想方法，數學，函數思想

一、函數與方程思想方法分析

函數是刻畫現實世界中一類重要變化規律（運動變化）的模型，反映了一個事物隨著另一個事物變化而變化的關系和規律。函數思想的實質是：用聯系及變化的觀點提出（數學對象）——抽象（數量特征）——建立（函數關系），即從已知事物中提煉數學語言，構造函數關系，再用函數關系解決問題。函數思想方法的應用非常廣泛——建立函數關系或構造函數，運用函數圖象及其性質去分析問題，轉化問題，和解決問題。函數思想是高中數學中最重要的數學思想方法之一。

高中涉及的函數很多，比如：一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數、復合函數等等。還包括定義域，值域，單調性，奇偶性，周期性，以及與圖像的聯系等函數的性質。方程，不等式，數列等等同樣是與函數有關的知識點。

二、在解題中的應用

（一）在導數中的應用

一個函數的導函數仍然是函數，通過研究導函數圖象和性質可以研究原函數的圖象和性質。

【例1】 的極值點，則 的極小值為（）

A.-1 ? ? ? ? ? ?B. ? ? ? ? ? ? ? ?C. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D.1

【評注】在利用導數求函數的極值（零點或最值）的過程中，都需要經過列方程（組）的過程。

【解析】因為

所以 ?.

因為 是函數 的極值點，所以-2是 的根，所以 ， 。令 ，解得 令 ，解得 ，

所以 在 上單調遞增，在 上單調遞減，在 上單調遞增，所以當 時， 取得極小值，且 選擇A。

（二）在數列中的應用

數列是定義在正整數集或它的有限子集上的函數。因此，在研究數列的最大（小）項及前 項和的最值等問題中，應當注意把函數的有關知識融入到數列中。

【評注】先求出數列的首項 和公差 ，再將 表示為 的三次函數，利用函數相關知識求解。

【評注】數列是定義域為正整數的一種特殊函數，利用函數思想處理數列是最常見的方法。

（三）在解析幾何中的應用

【評注】第（1）問中通過聯立方程，證明直線 與 的斜率之積為-1即可;第（2）問根據（1）及 的坐標即可求解。

（四）在不等式中的應用

通常采用構造函數的方法處理有關不等式的恒成立、不等式有解的問題，利用函數的圖像或者性質等進行轉化，確定相關參數的取值范圍或是最值，解決問題。解決問題前要先弄清是對哪個變量恒成立，變量的取值范圍，再根據函數類型求最值。

【例5】設函數 若存在唯一的整數 使得 ，則 的取值范圍是（）

B. ? ? ? ? ?C. ? ? ? ? ? ? D.

【評注】本題通過構造函數，利用導數判斷函數的單調性，從而求解參數的取值范圍。

【解析】由題意可知存在唯一的的整數 ，使得 ，設 ，

，由 可知 在 上單調遞減，在 上 單調遞增，作出 與 的大致圖象，故 ，即 ，所以 ，故選D。

【評注】當問題中出現兩數積與兩數的和時，是構建一元二次方程的明顯信息，構造方程后再利用方程知識可巧妙解決問題。

三、教學策略

（一）有序性策略

數學概念和原理是數學思想方法的載體。數學概念發展的有序性是由數學的邏輯性決定的，因此思想方法的產生與發展也具有一定的順序性。概括性高、統攝性強等都是函數與方程思想的特點。函數與方程思想的形成需要經歷較長的過程，因此，教學過程需要有序性。

（二）過程性策略

掌握數學思想方法需要經過模仿——領悟——應用的過程，由淺入深、循序漸進便是函數與方程思想的教學的過程。函數與方程思想的教學需要教師精心撰寫相關的教學方案，有計劃地安排教學活動，幫助學生領悟思想方法，這就需要一個循序漸進的過程。

（三）變式策略

在認知心理學中，問題的變化性讓解決問題的策略也具有了變化性。能否清楚地識別出問題的本質特征然后選擇合適的解題策略決定了學習者能否順利解決問題。認知心理學認為，“程序化、自動化”的決策行為是有害的，會產生“定勢效應”。因此，“雙基”教學不提倡“題型訓練”的行為，而是提倡教師讓學習者在有變化性條件的問題中進行聯系，進行變式教學，使學生能在具體情境中作出正確的判斷。

參考文獻：

[1] 車樹勤.函數與方程思想（上）[J].數學教學通訊數學金刊，2011，9：34-34.

[2] 趙華.數學思想與方法在高中數學中的滲透研究[D].蘇州：蘇州大學，2011.

[3] 劉佰秋.函數與方程思想在普通高中數學中的實踐研究[D].東北師范大學，2012.

[4] 涂釗榕.高中數學中函數與方程思想的研究[D].福建師范大學，2012.

[5] 蔡斌.方程與函數思想在高中教學的實踐探究.理科考試研究（高中版）[J]，2013，9：19-19.

[6] 楊春元.函數與方程思想在不等式教學中的應用.高中數理[J]，2013，18：26-27.

[7] 曾雪萍.函數與方程轉化問題在高考題中的體現.試題與研究：教學論壇[J]，2013，3：45-45.

[8] 米山國藏，毛正中 吳素華譯.數學的精神思想和方法[M].成都：四川教育出版社，1986：序.

[9] 鐘山.高考備考工具書[M].沈陽：遼寧教育出版社，2010，3：384.

[10] 劉福棟，對高中數學思想教學的認識與實踐[J].新課程學習（學術教育），2011，5：48-48.