最優化教材之我見

夏尊銓

[摘 要] 最優化是運籌學專業研究生的一門重要的專業課。教材的選取對研究生的課堂教學至關重要。對此，就王宜舉和修乃華教授編寫的《非線性最優化理論與方法》從內容、系統性和可讀性等方面進行論述，給出該書的一些亮點和特色，同時也指出進一步改進的建議。

[關鍵詞] 書評;教材;亮點與特色

一、引言

眾所周知，工程技術、交通運輸、經濟管理等領域中的許多問題最終都歸結為最優化問題。在計算機廣為普及的今天，一些大規模的優化問題的求解可以在一臺普通的計算機上實現，使得最優化方法得到了比以往任何時候都更加廣泛的應用。這使得最優化方法成為工程技術人員必備的研究工具。為推動最優化技術的發展和應用，培養運籌學專業高級人才，選擇緊跟時代步伐、內容豐富、淺顯易懂、邏輯性強的《最優化》教材至關重要。為此，筆者就王宜舉教授和修乃華教授編寫的全國運籌學專業研究生統編教材《非線性最優化理論與方法》（見文后參考文獻[1]）從內容、系統性和可讀性等方面進行論述，指出該書的一些亮點和特色，同時也給出進一步改進的建議。

二、內容簡介及使用情況

王宜舉教授和修乃華教授編寫的《非線性最優化理論與方法》教材是二位教授及其團隊多年來對非線性最優化問題及相關問題潛心研究的心得及主要成果。該書系統地介紹了非線性最優化問題的經典理論與算法，同時還介紹了國際優化前沿的最新成果。該書系統性強，內容新穎豐富，是一本不可多得的優化教材。該書于2012年在科學出版社首版，2016年再版，2019年第三版。該書從2012年出版至今，已先后印刷12次。筆者從與國內高校同行的交流中得知，該書先后被復旦大學、天津大學、廈門大學、山東大學、重慶大學、中國農業大學、大連理工大學、中南財經政法大學、廣西大學、杭州電子科技大學、蘇州大學、青島大學、哈爾濱師范大學、重慶師范大學、桂林電子科技大學等國內20多所高等院校定為運籌學專業研究生教材，受到國內外同行的普遍歡迎。該書還曾被南京航空航天大學指定為工程管理專業博士生入學考試參考書，是一本值得推薦的最優化教材。筆者在退休之前，進行運籌學專業碩士生和博士生的課堂教學時，曾使用這本書，取得了良好的教學效果。

三、教材特色與亮點

在最優化理論與算法方面，國內外出版很多這方面的教材，常見的中文教材（見文后參考文獻[2]—[11]，常見的外文版教材（見文后參考文獻[12]—[16]）。這些教材從不同角度對最優化問題的最優性理論和算法進行了詳細的論述，成為最優化課程的經典教材和參考書。相比這些教材，王宜舉和修乃華編著的《非線性最優化理論與方法》，有以下特點。

1.條理清晰，系統性強。本書開篇第一章就對最優化問題進行了詳細的分類，并對最優化問題的每一個數值算法進行了全面的論述。這為最優化初學者提供了便利。眾所周知，最優化問題種類繁多。初學者面對各色各樣的優化問題難免會有疑惑：這些問題類是怎么劃分的，它們之間有什么關系？對此，該書在開篇第一章的開始便給出了解答。其次，最優化問題有各式各樣的求解解法。面對這些算法，初學者同樣會有疑惑：這些算法是怎么產生的？它們的主要思想是什么？這些算法之間什么關系？對此，該書在第一章的第2節通過一個簡單的二次規劃問題引出了最優化問題的各種求解方法，并對這些算法的設計思想及其發展歷程進行了比較詳盡的論述，并給出了這些算法的優缺點和適用的問題類型，從而給讀者一個清晰的算法輪廓，為本書的算法學習提供了一個好的引領。

2.內容豐富、深刻。該書的第七章對約束優化問題的最優性條件進行了深入、細致、全面的論述。眾所周知，最優性理論是最優化研究的核心和算法設計的基礎。可以說，只要掌握了最優化問題的最優性條件，就掌握了這門課程。對此，該書從等式約束優化問題的最優性條件入手，引出了非線性約束優化問題的各種最優性條件。與其他所有最優化教材不同的是，該書在給出每一類優化問題的最優性條件后，均以圖表的方式對該類最優化問題的各種最優性條件之間的關系進行了梳理。言簡意賅，形象生動，便于讀者掌握。

對約束優化問題的投影算法，該書對投影算子的性質進行了深刻挖掘，給出了投影算子的各種性質。這為新型投影算法的設計和理論分析打下了良好基礎。更重要的，在該書的投影算法章節的最后，作者借助線性規劃問題對投影算法進行了新的刻畫。

總之，該書的很多內容是其他教材所沒有的，但又是十分重要的。

3.深入淺出，淺顯易懂。該書的第四章，在無約束優化問題的共軛梯度法討論之余，借助矩陣的特征值理論對線性共軛梯度法的收斂速度進行了估計，從而很自然地引出了預條件共軛梯度算法。

對約束優化問題的對偶，多數最優化教材都從線性規劃問題的對偶入手。但該書不同，它獨辟蹊徑，從約束優化問題的KKT條件入手，借助Lagrange函數的鞍點不等式引出了約束優化問題的兩個雙層極值優化問題，一個是原問題，一個是對偶問題。形象自然，大大增強了可讀性。

基于上述亮點和特色，本人鄭重向國內同行推薦王宜舉和修乃華教授編寫的這本運籌學專業最優化教材《非線性最優化理論與方法》。

四、進一步提升的建議

為便于教學，同時跟上現代教學的步伐，筆者建議作者能對《非線性最優化理論與方法》這本教材進行詳細梳理，制作PPT課件。這樣會使該書更受國內優化學者的歡迎。

參考文獻

[1]王宜舉，修乃華.非線性最優化理論與方法（第三版）[M].北京：科學出版社，2012.

[2]鄧乃揚.無約束最優化計算方法[M].北京：科學出版社，1982.

[3]席少霖，趙鳳治.最優化計算方法[M].上海：上海科學技術出版社，1983.

[4]趙瑞安，吳方.非線性最優化理論與方法[M].杭州：浙江科學技術出版社，1992.

[5]席少霖.非線性最優化方法[M].北京：高等教育出版社，1992.

[6]袁亞湘.非線性最優化數值方法[M].上海：上海科學技術出版社，1993.

[7]陳寶林.最優化理論與方法[M].北京：清華大學出版社，1989.

[8]袁亞湘，孫文瑜.最優化理論與方法（第二版）[M].北京：科學出版社，2010.

[9]李董輝，童小嬌，萬中.數值最優化算法與理論（第二版）[M].北京：科學出版社，2010.

[10]黃正海，苗新河.最優化計算方法[M].北京：科學出版社，2017.

[11]張立衛，單峰.最優化方法[M].北京：科學出版社，2018.

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[14]Bertsekas DP.Nonlinear Programming.Athena Scientific，1999.

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