大數據背景下數值計算課程教學改革

謝聰聰 孟莉

[摘 要] 隨著人工智能算法的不斷普及，基于數據驅動的數值算法成為一個學習的熱門課程。在傳統(tǒng)數值計算課程的基礎上，從教學內容、教學模式以及課程評價體系等方面進行深度改進。主要的做法是面向大數據分析需求，結合Python等新興算法語言的優(yōu)勢展開算法應用研究，藉此提高學生的學習熱情以及學習效果;結合課堂訓練和課后的算法實踐，提高學生解決應用問題的能力，充分體現數值計算學以致用的特點。經過新一輪的教學改革和實踐，取得較好的反饋。

[關鍵詞] 最小二乘擬合;迭代法;梯度下降法

一、引言

數值計算是一門研究如何用計算機算法高效、準確地求解來源于不同學科問題數學模型的課程。同時，該課程需要密切結合應用中的實際問題背景，因此也具有很強的實踐性。該課程不僅是信息與計算科學專業(yè)的專業(yè)必修課程，同時也是數學與應用數學專業(yè)、數據科學與大數據技術專業(yè)和計算機專業(yè)的重要基礎課程。在大數據科學迅速發(fā)展的背景下，數值計算方法出現了一些更復雜的應用場景[1]。

首先，原有的數值計算教學內容主要側重理論知識的講解，欠缺應用實踐的教學過程。在授課過程中往往對數學理論講解、解題技巧傳授的內容偏多，而如何培養(yǎng)和提高學生的分析和解決實際問題能力的環(huán)節(jié)偏弱。因此，在課程的內容上需要進行適當的調整，在原有教材內容的基礎上增添一些應用性較強的內容，特別關注那些在圖像識別、電商數據挖掘以及其他人工智能應用領域應用中所廣泛采用的算法，將專業(yè)發(fā)展前沿的新動向及時補充到教學內容中去，以豐富學生的視野和提高學習的熱情，并增強他們解決實際問題的能力。

其次，在課堂教學模式上的改革。傳統(tǒng)的授課方式是一種靜態(tài)的、注入式的教學模式。教學方法主要是以PPT講解為主，板書為輔的比較單一化的教學模式。這類模式對數學和算法類課程來說，不足之處在于對學生的吸引力不足。在教學改革中，課堂上采用了多種形式的教學方法，比如：通過算法實時生成圖表進行直觀的演示;增加算法實踐環(huán)節(jié)，利用事先準備好的基礎算法模塊，通過修改核心部分改善算法性能，這樣可通過結果的對比增強知識點的直觀印象;引導學生提出自己的疑問、獨立思考并探究解決方法。此外，也采用問題式的教學方法，提高學生上課的興趣和聽課的效率。

二、課程具體的改革方法與策略

1.在課程內容設置上做適當調整，同時基于原有自編教材[2]的基礎，增加了一些實用型算法。首先，針對理論知識部分實施化繁為簡的改進，略去了一些過于晦澀且不常用的推導與證明過程，并在簡化給出結論后給出了具備更詳細介紹的參考文獻，以方便感興趣的讀者進一步學習。其次，注重將理論知識與實踐教學相結合，比如：進一步強化了矩陣QR分解和奇異值分解的內容，強調如何利用QR迭代法去求解矩陣特征值問題、如何通過奇異值（SVD）分解去理解數據分析中常用的主成分分析（PCA）的本質。進一步地，為了說明特征值和特征向量的重要性，上課過程中還增加了計算機視覺處理中的人臉識別問題、圖像特征提取和圖像壓縮等應用問題的介紹[3]。此外，在偏微分數值解的有限差分方法基礎上，增加金融工程領域應用廣發(fā)的Black-Scholes期權定價模型的求解[4]，并趁機介紹三維數據科學計算可視化、與實際數據進行比較等數值模擬研究中常用的技術手段。

2.教學過程中通過圖像動態(tài)直觀地去演示一些結果，提高教學可視化水平，能夠很好地將抽象的數學知識理論直觀地呈現在學生面前，將理論知識與實驗教學相結合。比如在講解不動點迭代的收斂性問題時，先根據具體函數的幾何圖形，來形象地演示收斂過程，從而給出收斂性分析定理。又比如在講解高次插值帶來的龍格現象這一部分內容時，利用圖形來直觀地解釋高次插值出現不穩(wěn)定的原因。在圖1中，實線是原函數，短虛線是6個節(jié)點的5次插值多項式，長虛線是11個節(jié)點的10次插值多項式，從圖形上很容易能夠看出，10次插值多項式在區(qū)間端點處逼近的效果很差，引起強烈的震蕩，而在內部節(jié)點0附近逼近效果比5次插值要好。通過圖形來演示數值結果，讓學生一目了然。

3.采用問題式的教學方法培養(yǎng)學生的主動參與、獨立思考和自主學習的能力。在上面提到的高次插值帶來的龍格現象這一問題中，通過圖像讓學生了解到在引起不穩(wěn)定的原因是因為在端點附近引起震蕩，從而導致逼近效果差。這時候，可以提出問題，如何解決這個震蕩現象？有學生提出引入分段低次插值，也有學生提出改變節(jié)點，課后學生根據自己的方案設計程序，給出數值結果和圖形。學生有了思考的過程，就會提高實際動手和學習的興趣。

另外，在講解Lagrange插值多項式的時候，課本是直接給出了n+1個節(jié)點的Lagrange基函數，從而構造出Lagrange插值多項式，完全是植入式給出結果。在上課過程中，先從最簡單的2個節(jié)點出發(fā)，構造相應的插值多項式和對應的Lagrange基函數，學生理解和掌握了整個構造過程，就可以舉一反三，寫出3個節(jié)點，甚至n+1個節(jié)點的Lagrange插值多項式。這樣的模式，不只是讓學生能夠高效率地掌握這部分知識，而且要印象深刻，學會舉一反三。如果讓具有主觀能動性的學生成為樂學好學之人，無疑會對教學質量有大大地提高。

4.在上課過程中，結合最新科研成果，將本專業(yè)發(fā)展前沿的新動向及時補充到教學內容中去。前面學生通過不同節(jié)點來改善龍格現象，但是節(jié)點的給出沒有規(guī)律可循，利用最新的科研論文，Trefethen[5]曾提出往往兩頭密集中間稀疏的節(jié)點能帶來比較好的插值效果，并且不會出現龍格現象，比如Gauss節(jié)點、Chebyshev節(jié)點等。上課時我們將Chebyshev點用于高次插值，并通過圖形來直觀地顯示。圖2分別給出11個等距節(jié)點的插值多項式（藍色長虛線）和11個Chebyshev點插值多項式（紅色點虛線）的圖形，從圖中可以看出Chebyshev點的10次插值多項式在端點處并沒有出現龍格現象。圖3則分別給出了11個和21個Chebyshev點構造的10次插值多項式（紅色點虛線）和20次插值多項式（藍色實線），20次插值多項式逼近程度非常完美。這些內容在大部分數值計算的教科書上是沒有的，增加最新科研成果進課堂，可以讓學生耳目一新，并且能夠推動學生主動去查找科研文獻，培養(yǎng)科學探索的能力。

5.適當增加部分學生感興趣的實用編程技術，如介紹一些基于典型數據集的分類回歸等應用時，采用基于Python的代碼進行分析和實現。這一做法的好處是多方面的，其中最重要的一點是有利于突出數值算法的教學重點。基于大數據的應用雖然是一個新的趨勢，但對于數值計算來說我們只需關注算法部分。就數據分析領域的應用來說，開源社區(qū)中提供的大量Python程序庫的實現往往會比傳統(tǒng)的Matlab方便許多，這可以讓學生更好地專注于學習算法這一主要目的上去。下面所述是數據分析領域中經典的例子：

改進算例：基于一個典型18層卷積神經網絡（RESNET18）進行貓狗圖像分類問題中，如圖4所示是讀取圖片并轉化為向量的Python腳本，而圖5則給出了訓練算法的詳細步驟。

通過這一簡單案例的對比容易發(fā)現：開源社區(qū)所提供的算法實現，事實上提供了比Matlab更開放、更詳細的算法實現接口，十分有利于算法學習者進行學習或更深入的修改，同時豐富的數據處理接口也比Matlab更適用于當下流行的大數據分析案例的入口。除增加梯度下降法之外，這一版的改進內容還包括數據擬合的最小二乘法與非線性迭代法等經典數值算法的Python實現，并以課后練習的形式來鞏固相關理論知識點。

6.完善合理的過程性評價，調整課程評價方式，將傳統(tǒng)的期末考試和平時作業(yè)簡單組合的評價模式改為多方面的綜合評價（見圖6）。傳統(tǒng)的成績按期末80%和平時20%的方式給出，期末比例太大，大部分學生在整個學習過程中，平時散漫，靠期末考之前突擊去參加考試。現在將傳統(tǒng)的模式改為多方面的綜合評價，在平時增加兩次課堂測驗（0%）和一次期中測試（20%）。增加一次實踐作業(yè)（10%），跟實際應用相結合，學生可以通過查閱文獻、建立模型、選擇算法、編程實現，最后以報告的形式上交。加上平時作業(yè)成績10%，期末成績占比從80%減到50%，讓學生能將課程的學習時間更加均勻地分布在平時，而不是集中在期末考試那幾周。經過兩輪的教學實踐，更改后的綜合評價方式更合理，學生學習的積極性和成績也都有很大的提高。

三、結語

我們通過推進數值計算課程傳統(tǒng)模式的改革，來適應大數據時代計算人才的要求。該課程經過在信息與計算科學和數學與應用數學兩個專業(yè)的教學改革實踐，改善了教學內容和教學模式，完善了教學評價，提高了學生成績和自主學習的熱情，取得了比較明顯的教學成效。

參考文獻

[1]J.Nathan Kuta.數據驅動建模及科學計算——復雜系統(tǒng)和大數據處理方法[M].呂麗剛，等，譯.北京：電子工業(yè)出版社，2017.

[2]陸建芳，謝聰聰，練曉鵬.數值計算基礎[M].北京：科學出版社，2013.

[3]劉衍琦，詹福宇，蔣獻文，周華英.Matlab計算機視覺與深度學習實戰(zhàn)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2017.

[4]Manfred Gilli，Dietmar Maringer，Enrico Schumann.Numerical Methods and Optimization in Finance[M]Elsevier，2013.

[5]Lioyd N.Trefethen，Is Gauss Quadrature Better than Clenshaw-Curtis？[J]SIAM Review，2008，V50（1）：67-87.