變與不變的較量

呂小燕

【摘 要】 本文以一節高三數學習題課——《解三角形》中的一道原題為例，引導學生對原題進行變式，通過變式去發現數學關系，構建可行的命題，在變的現象中去發現不變的本質，在不變的本質中去探究變的規律，進而提升學生的數學核心素養和創新能力。

【關鍵詞】 變式教學;高中數學;創新思維

所謂變式教學是指教師在教學過程中，有目的、有計劃地對已有的命題進行合理化地改編。在課堂中經常需要通過運用不同形式的材料或事例來歸納事物的本質屬性，或者通過變換同類事物的一些輔助特征以突出事物的本質特征。變式教學的用意在于讓學生去抓住事物的本質特征，從而對該類事物形成概念。

變式教學作為一種行之有效的教學方法，在高中數學教學中已經得到廣泛推廣，大多數的教師都能在課堂上靈活運用變式教學。但是相比之下，很少有教師會在課堂上嘗試讓學生對原題進行變式。學生通過對“變”的過程的參與、實踐，從中體會變式中變的是什么，什么沒有改變，進而提升學生的數學核心素養，是值得我們高中數學教師認真思考的問題！

在高三的復習課教學中常常要通過講解習題去探究解題的策略。要做到舉一反三，變式教學不可或缺，讓學生來設計變式尤其重要。本文以一節數學習題課——《解三角形》中的一道原題為例，引導學生從多個角度加以變式并闡述改編的理由，進而啟發全班同學對改編后的問題深入思考，去探究變式的規律。

原題：△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a、b、c。b=acosC+csinA。

（1）角A大小;

（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面積。

原題中，已知三角形的一邊及對角，外加一個關于另兩條邊的條件，此時三角形固定，各邊和角的量確定，因此該三角形的面積為定值。在研究解三角形時，隨著給定三角形條件的改變，我們可以引導學生設計出一系列的變式。

一、條件的弱化與強化

當一個命題所給定的條件比較豐富時，可以考慮減少其中的一兩個條件，從而加工成新命題。本題中如果弱化引例中的b+c=4的條件，三角形變得不穩定，引起三角形面積的變化，直接求三角形的面積問題變成了求面積的最值問題。

變式1：△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2，角A=，求△ABC面積的最大值。

要是把角的條件去掉，增加另兩條邊的約束關系，三角形的面積會產生怎樣的變化呢？

變式2：△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2，c=2b，求△ABC面積的最大值。

借助變式設計，學生逐步把握解題的關鍵。這兩個變式的方向都很明確，固定的三角形經弱化條件后變成動的三角形，結論由求值問題轉化為范圍問題。因而該題由一道基礎題上升為中檔題，這也是我們命題的方向。在課堂教學中通過引導學生參與變式研究，幫助學生逐層深入地建立簡單問題與復雜問題之間的內在聯系，有利于有層次地推進思考的深度，符合學生認知的“最近發展區”。

二、結論的延伸與拓展

除了考查已有的性質，還能有哪些性質的改變呢？進一步思考，三角形的不穩定除了引起面積的變化，還會引起邊的長度的變化。因此在變式3中，學生把變式1的目標由求面積的最值變為求周長的最值。

變式3：△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2，角A=，求△ABC周長的取值范圍。

在數學活動中通過有層次地推進，讓學生去逐步解決問題從而積累各種活動經驗，進一步拓寬學生的思維，有利于培養學生的創新思維。

三、情境的抽象與具體

針對基本問題中的線段、角等元素，將其設計成實際應用問題，增強學生綜合應用知識解決生活中實際問題的能力。

變式4：已知河岸一側的工廠B、工廠C之間的距離為2000米，村莊A位于河岸的另一側，村莊A到工廠B的距離是到工廠C的距離的兩倍，求A，B，C圍成面積的最大值。

數學問題總是在一定的背景或情境中產生，離開情境的數學是沒有煙火氣的數學。只有讓學生弄清問題產生的背景，在生活中找到模型，知道數學與生活是緊密聯系不可分割的，才能提升學生的數學應用能力。

四、圖形的變形與維度

根據圖中三角形一邊是另一邊的兩倍的圖形特征，不妨將三角形的短邊延伸，變為一個大的等腰三角形，一腰上的中線長為2。

變式5：等腰△ABC中腰上的中線BD為定長2，當頂角A變化時，求△ABC面積的最大值。

通過觀察圖形之間的區別與聯系，從數學問題的本源出發，把握問題的本質，提升轉化能力，促進思維能力的形成。

五、條件與結論互換

通過條件與結論的互換，發現邊角面積之間的內在聯系，便于學生構建完整的知識體系。

變式6：△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，b=acosC+csinA。

（1）求角A大小;

（2）若a=2，△ABC面積為，求△ABC的周長。

六、變式中的不變

變式必須聚焦核心概念和思想方法。一系列的變式，旨在讓學生梳理出解決這一類問題的方向：從邊的角度考慮，用余弦定理聯系三邊及一角，建立三邊的關系，用邊表示出要求的目標，然后運用基本不等式的知識求解;從角的角度，借助正弦定理將邊的問題轉化為角的問題，從而轉變為已知角的范圍，求三角函數的最值問題;從形的角度考慮，從變化的三角形中尋找一些確定的關系，不妨以運動的觀點來考察某個頂點的軌跡，巧用外接圓，借助于軌跡圓的特點求范圍。

變式可以從對知識的理解上切入、從對方法的反思中切入、從對條件的反思切入、從問題的呈現形式切入、從幾何圖形的聯系上切入、從動態的情境上切入，多角度去思考。學生經歷原題的改編，在學習上不再只是停留在事物的表象的認識，而是不知不覺中主動從本質看問題，學會比較全面地看問題，注重從事物之間的聯系中來深度挖掘隱蔽的本質特征。

變式教學貫穿于整個高三數學復習課，嘗試讓學生變式，讓學生從變式中認識到一個命題的產生、發展、變化及應用，多側面、多渠道、多角度思考問題，對于激發學生的學習熱情、培養科學的思維方法以及創新能力具有重要意義。在探討、爭論、實踐中從變的現象中發現不變的本質，從不變的本質中探究變的規律，切實提升學生的數學核心素養。

向前推進是人們認識事物的必然趨勢，數學知識的發展和命題的改造就是前進中的進程。在教育改革的大背景下，引導學生通過設計變式去發現數學關系，構建可行的命題，用數學的眼光去探究研究對象，運用數學思維去分析問題，不正是高中數學課程的根本任務嗎？

【參考文獻】

[1]郝世波.變式教學在高中數學教學中的應用[J].中學數學教學參考，2015（z3）.

[2]肖鋒.變式教學在高三數學復習中的應用[J].中學數學教學參考，2017（33）.