一類病毒自發變異時滯SIR傳染病模型穩定性分析

李冬梅 付玉立 高添奇 李晨辰

摘要：考慮了病毒自發變異對傳染病流行的影響，建立了具有自發病毒變異的時滯SIR傳染病模型，給出無病平衡點，單株地方病平衡點和地方病平衡點的存在性、局部穩定充分條件。通過構造Liapunov函數，證明了無病平衡點、單株地方病平衡點和地方病平衡點全局漸近穩定性。借助數值模擬的方法，分析了病毒自發變異對疾病傳播的影響。

關鍵詞：病毒自發變異;平衡點;穩定性

DOI：10.15938/j.jhust.2020.02.022

中圖分類號：0175.1文獻標志碼：A 文章編號：1007-2683（2020）02-0166-07

0引言

傳染病動力學模型在了解疾病的傳播規律和預測疾病流行趨勢中發揮著極其特殊的作用。針對病原體為病毒類型的傳染病，可借助病毒動力學傳染病模型的定量分析來了解疾病的變化趨勢，制定疾病防控策略已取得諸多的結果。但是，病毒在其傳播過程中受到多因素的影響，可能會發生自身變異現象，從而改變原有的傳播規律和治愈率，病毒變異感染者會再次傳播疾病可能會導致疾病流行。無變異病毒動力學模型的研究結果無法了解更多的病毒變異后疾病流行趨勢，如乙肝病毒、狂犬病毒。通過研究帶有病毒變異后的傳染病模型，將有助于了解疾病感染者數量的最終演變趨勢，可為制定防控措施提供一定理論依據。有關病毒變異傳染病傳播問題的研究結果不多。文考慮病毒感染者和病毒變異感染者兩類人群均具有傳染性，經過治愈后不具有免疫性，建立了如下分段傳播的無免疫一類的傳染病S賜模型，研究了兩類人群存在平衡狀態及其穩定性。

文考慮病毒變異感染者是由病毒感染者經過一定時間時滯轉移而來的，建立了如下無免疫的一類具有時滯的病毒變異的5/s模型，研究了模型的無病平衡點和地方病的穩定性。

本文考慮了病毒侵人感染者體內經過治療，部分感染者治愈而獲得免疫。還有部分感染者會在一段時間內發生病毒變異，成為新的一類感染者，這類人群可以采取新的治療措施，治愈后也獲得免疫。在此治療期間這兩類患者均具有感染能力。因而建立了如下帶有雙線性發生率的具有免疫的病毒自身變異的時滯傳染病SIX模型。

其中S（t），I₁（t），I₂（t），R（t）分別是t時刻易感人數、病毒自身變異前的患者、病毒自身變異后的患者和恢復的人數;A是輸入率;β₁和β₂分別表示病毒自身變異前患者和病毒自身變異后患者的傳染率系數;ε為變異前患者變為變異后患者的速率;d為死亡率;γ₁為病毒自身變異前的恢復率;γ₂為病毒自身變異后的恢復率;τ為病毒自身變異時間。假設ε

顯然區域Ω={（S，I₁，I₂）|S（t）≥0，I₁（t）≥0，I₂（t）≥0，S（t）+I₁（t）+I₂（t）≤A/d|是模型（2）正向不變集。

1 主要結果

1.1 模型平衡點的局部穩定性

模型（2）的平衡點滿足下列方程

2 數值模擬

取模型（1）中的參數A=10，d=1，β₁=0.03，β₂=0.05，ε=0.1，τ=0.01，γ₁=0.02，γ₂=0.04.經計算滿足R₂≤R₁≤1，定理3可知無病平衡點E₀全局漸近穩定，其數值模擬圖見圖1.

若取模型（1）的參數為A=10，d=0.4，ε=0.03，τ=0.1，β₁=0.02，β₂=0.04，變異前的恢復率γ₁，變異后的恢復率γ₂分別取γ₁=0.02，γ₂=0.4;γ₁=0.2，γ₂=0.5.

經計算，均滿足R₁<1，R₂>1，由定理4，知單株地方病平衡點是全局漸近穩定的，其數值模擬圖見圖2（a），2（b）。

取模型（1）中的參數為A=8，d=0.4，β₁=0.03，β₂=0.05，ε=0.09，τ=0.1，變異前的恢復率γ₁變異后的恢復率γ₂分別取γ₁=0.02，γ₂=0.4;γ₁=0.02，γ₂=0.5;γ₁=0.1，γ₂=0.4，經計算均滿足R₂<1，R₁>1，由定理6，模型（1）存在地方病平衡點E₂全局漸近穩定，其數值模擬圖見圖3（a），圖3（b），圖3（c），圖3（d）。

若取模型（1）中的參數為A=10，d=0.4，ε=0.03，τ=0.1，β₁=0.05，β₂=0.03，變異前的恢復率γ₁變異后的恢復率γ₂分別取γ₁=0.2，γ₂=0.5;γ₁=0.3，γ₂=0.2.經計算，滿足R₁>R₂>1，由定理1知，模型（1）存在單株地方病平衡點E₁，地方病平衡點E₂。模型（1）的數值模擬圖如圖4（a），4（b）所示。發現地方病平衡點是穩定的，單株地方病平衡點是不穩定的。