一類帶有兩個擾動微分方程的漸近概周期解

姚慧麗 孫源源 王晶囡 張娜

摘要：在眾多研究中，很多現象都是用微分方程作為數學模型的。但在建立方程的過程中，不可避免地會出現一些干擾力，這類方程稱為帶擾動的微分方程。利用壓縮映像原理以及指數二分的相關結論，對一類帶有兩個較小的正擾動的微分方程的漸近概周期解給于討論，給出了這類方程存在唯一的漸近概周期解的條件。

關鍵詞：漸近概周期解;擾動;微分方程;壓縮映像原理;指數二分

DOI：10.15938/j.jhust.2020.02.019

中圖分類號：0175文獻標志碼：A 文章編號：1007-2683（2020）02-0138-08

0 引言

自1925-1992年，幾位數學研究者先后提出了概周期型函數理論以來，已被廣泛應用于各種微分方程中。其中，帶有擾動的微分方程在很多領域都會涉及到，如力學、生物學、自動控制等。而概周期型函數是比周期函數更廣的函數，所以研究擾動微分方程的概周期型解具有更廣的意義。已有不少文獻對帶有一個擾動的微分方程的概周期型解的存在和唯一性進行了探討。相比之下，帶有兩個擾動的微分方程的這類解被討論的卻較少。在文中，作者對帶兩個擾動的微分方程

進行了研究，給出了這類方程存在概周期解的條件，其中A（t，ε）是定義在Rx[0，ε₀]上的n×n階函數矩陣f（t，x，u），g（t，x，u）是定義在R×S×[0，u₀]上的函數，u₀，ε₀是兩個小參數，S是Rⁿ的任意緊子集。本文將對方程（1）的漸近概周期解加以研究，給出它有唯一此類解的條件，從而對已有結果進行了推廣。

1 預備知識

本文中C（R，Rⁿ）表示定義在R上而取值于Rⁿ的有界連續函數全體。C（R×Rⁿ，Rⁿ）表示定義在及×Rⁿ上而取值于Rⁿ的全體有界連續函數。類似的空間還有C（R×Rⁿ×[a，b]，Rⁿ）以及（C（R×Rⁿ×[a，b]×[c，d]，Rⁿ））。另外，若對以上集合中的函數賦予上確界范數，則它們都為Banach空間。

定義1函數f∈C（R×Rⁿ，Rⁿ）稱作關于t∈R且一致對x∈s（S是Rⁿ的任意緊子集）是概周期的，是指若對任意的ε>0，f的ε-平移集

2 主要結果

本部分主要對方程（1）進行討論，其中A（t，ε）是定義在R×[0，ε₀]上的n×n階漸近概周期函數矩陣f（t，x，u），g（t，x，u）是關于t∈R的且對（x，u）E S×[0，u₀]的n維一致漸近概周期函數，u₀，ε₀是兩個小參數，S是Rⁿ的任意緊子集。

構造以下方程