多柔度電液位置伺服系統建模與穩定性分析

李建英 董法堂 李士銘

摘要：為探索多柔度電液位置伺服系統的動靜態響應性能，主要以含有彈性環節的電液位置伺服系統為研究對象，主要考慮包括液壓彈簧剛度、負載彈簧剛度和機械連接剛度等存在于系統多個位置的彈性環節對系統的影響，推導出包含液壓缸、負載、伺服閥和活塞的數學模型。針對電液位置伺服系統的穩定性和動靜態特性展開分析研究，闡述了考慮多柔度彈簧剛度的存在對系統綜合性能影響的重要性。研究結果表明，系統反饋點位置的不同，對系統的穩定性的影響也不相同，同時，由于機械連接剛度的存在，對系統的動靜態響應性能也有很大的影響。

關鍵詞：多柔度;電液位置伺服系統;系統建模;穩定性分析;響應性能

DOI：10.15938/j.jhust.2020.02.008

中圖分類號：THl37.32文獻標志碼：A 文章編號：1007-2683（2020）02-0057-07

0 引言

電液伺服控制系統以穩定性好、響應速度快、控制精度高等優點被廣泛應用在冶金、航空航天等重要領域。目前研究人員對電液伺服系統的穩定性研究主要集中在控制策略上，在建模過程中對彈性剛度等結構因素的影響考慮較少。趙慧等以精密校直機為對象，分析了彈性負載對系統動靜態特性的影響，并針對精密校直機工作在彈塑性變形階段帶來的變剛度問題，設計出能在全工況范圍內穩定快速工作的模糊控制器。周丹等為解決大彈性負載伺服系統在低速和換向時存在的沖擊和振動問題，提出一種基于負載力反饋的變論域雙模糊控制算法。閥控液壓缸中彈性負載是比較常見的一種形式，例如在兩級液壓放大器中，功率級滑閥就存在彈簧對中裝置，液壓材料試驗機同樣在存在彈性負載，被試材料是一種硬彈簧。探究多種柔度電液伺服系統有其必要性，其性能的好壞及可靠性將直接影響電液伺服系統的性能及安全。

本文以具有彈性負載的電液伺服系統作力研究對象，對其進行了建模，尤其是對于液壓缸與負載特性進行建模分析，結合液壓彈簧剛度、負載彈簧剛度和負載連接剛度進行耦合特性分析，得到了其負載特性綜合剛度，分析對系統的液壓固有頻率、系統阻尼比的影響。對此系統綜合考慮，建立其數學模型，并對其分別進行時域、頻域響應的仿真分析，研究系統的穩定性、快速響應等性能。

1 電液伺服系統建模

考慮到連接結構柔度和彈性負載柔度，閥控液壓缸的簡化原理圖如圖l所示，是由液壓缸，電液伺服閥，放大器和負載等組成，它是一種最常用的液壓動力元件。液壓缸活塞桿的一端通過球形鉸鏈和連接彈簧與質量塊連接，另一端則與位移傳感器相連接。圖1中，活塞與質量塊之間的連接剛度以k_s2表示，負載彈性剛度以k_s1表示。

1.1伺服放大器模型

電液伺服系統中的伺服放大器大都采用運算放大器組成的，伺服放大器在驅動力矩馬達時，由于線圈存在電感作用，使得伺服放大器數學模型是一個慣性環節，由于伺服放大器頻寬比伺服閥的頻寬高很多，并且響應速度也很快，可以忽略伺服放大器的時間常數，把它看做是比例環節，它的傳遞函數為

式中：I為伺服放大器輸出電流;U為伺服放大器輸入電壓，伺服放大器增益k_a=0.002A/v。

1.2 電液伺服閥模型

電液位置伺服控制系統電液伺服閥選用美國穆格公司生產的電液伺服閥，其型號：D661-G15HOAA4NSX2HA;其先導級為射流管閥，主閥芯為零開口四通滑閥，額定流量：q_N=40L/min（△q_N=7MPa），額定電流：10mA，供電電壓為24v。

電液伺服閥輸出流量g與輸入電流I的傳遞函數G_{svq]（s），當伺服閥的頻寬與液壓固有頻率相近時，電液伺服閥用二階振蕩環節來表示：}

式中：I為輸入電流，A;K_svq為電液伺服閥的流量增益，（m³/s）/A;W_sv為伺服閥的固有頻率，rad/s;ξ_sv為伺服閥的阻尼比。

40min/L規格的伺服閥在壓降7MPa時，伺服閥的流量增益0.0667（m³/s）/A，伺服閥的固有頻率1256rad/s，ξ_sv為伺服閥的阻尼比0.7，所以伺服閥的傳遞函數如（3）所示：

式中：C_d為閥口流量系數;W為閥口面積梯度，W=6.092×10^-3m;P_s為供油壓力，P_s=16MPa，P₀=0;p為油液密度880kg/m³。

1.3 液壓缸和負載模型

1）伺服閥閥口線性化流量方程

Q_L=K_qX_v（s）-K_cP_L（s） （6）

式中：Q_L為電液伺服馬達的負載流量，m³/s;K_q為電液伺服閥閥口流量增益，m²/s;X_v為伺服閥閥芯位移，m;K_c為伺服閥閥口流量壓力系數，m³/（s·Pa）;P_L為負載壓力，Pa。

2）液壓缸流量連續性方程

式中：C_tp為液壓缸總泄漏系數;B_e為有效體積彈性模量，B_e=1.4×10⁹Pa;A_p為液壓缸活塞有效面積;v₁為總壓縮容積;x_p為液壓缸活塞位移;p₁為負載壓降。

3）負載特性方程

對活塞和負載受力分析如下：

活塞的力平衡方程為

式中：m_L為質量塊質量;x₁為質量塊位移;B_L為負載粘性阻尼系數，B=80N/（m/s）;F_L為外負載力，忽略負載力的影響;K_s1=k_s2=1.2×10⁵N/m。

考慮到結構柔度對大慣量電液伺服系統的影響，活塞的質量可以忽略，活塞粘性阻尼系數和負載粘性阻尼系數由于較小，為了突出結構柔度的作用可以忽略，故（8）-（9）兩個方程可以簡化為

忽略外負載力對系統的影響，負載位移X_L與閥芯位移想_V的傳遞函數為

1.4 檢測元件

將電液伺服系統中的位移傳感器和壓力傳感器看作慣性環節（傳感器存在時間常數），其動態傳遞函數：

式中：K_pm為位移傳感器增益，K_pm=50V/m;T_pm為位移傳感器的時間常數（包括低通濾波時間常數），T_pm=0.0002s。

1.5 系統數學模型的建立

由式（1）-（15）得電液位置伺服系統的傳遞函數方框圖，如圖2所示，

液壓缸控制腔容積取活塞桿直徑d=90mm，液壓缸內徑D=125mm，液壓缸的有效行程L=25mm，活塞桿的有效工作面積A=0.006m²。伺服閥到液壓缸管路直徑d_L選為0.015m，管路長度為1m，管路油液體積V_L=0.0001765m³，油缸和管路油液的總容積v₁=0.0003265m³，負載等效質量15400kg，總流量壓力系數k_ce=3.12×10^-12

閥控缸電液伺服系統的活塞位移與輸入信號的開環傳遞函數為

從上述分析中可以看出，機械連接剛度，液壓彈簧剛度和負載彈簧剛度構成一個綜合諧振系統。結構諧振和液壓諧振相互耦合，形成一個液壓一機械綜合諧振系統。

2 系統仿真模型的建立

通過上述分析，結合電液伺服系統結構簡圖，建立系統的仿真模型，如圖3所示。

根據上述伺服閥和液壓機構的工作條件構成模型的基本輸入參數，進行系統仿真建模。在進行分析時，對時域和頻域實時分析，得出結論，并尋找出其原因。

3 仿真結果與分析

系統的頻域分析和時域分析是在系統全閉環穩定性分析的基礎上進行的，如4.2所示的全閉環穩定性分析上表明系統是穩定的。

3.1 頻域分析

對系統模型線性化分析，可以得到系統的頻率響應曲線。圖4為開環伯德圖，圖5系統的閉環伯德圖，從開環伯德圖可以看出系統的幅值裕度是30.3dB，大于6dB，相位裕度為158°，大于45°，說明系統有良好的穩定性。系統的頻寬可以判斷系統的快速性，在閉環伯德圖中無法顯示出-3dB，所以暫時無法判斷，頻寬在其工作頻段內有良好的跟隨性能，應遠大于最大工作頻率，才能滿足系統要求，而且頻寬主要由液壓動力元件的液壓固有頻率和阻尼比決定的。

3.2 時域分析

對系統時域分析，在階躍幅值取閥芯最大開度為25mm，在0s時觸發階躍信號，仿真時間為2.5s通信間隔為0.0001s，階躍信號仿真響應曲線如圖所示。由圖6可知，負載的響應時間為1.5s，超調量為0%，調整時間為5.845s，上升時間為5.13s，穩態誤7.68um。如圖7所示，活塞響應時間很短，在0.05～0.06s之間，但系統的穩定性很差，隨著時間的增長，響應曲線變得震蕩，而且幅度很大，完全失去控制，系統是不穩定的。

階躍響應曲線及各項指標顯示，在負載響應時，系統是穩定的，但是系統響應緩慢，穩態誤差很大，負載的響應曲線是兩個二階震蕩環節和一階慣性環節的綜合，是一個五階環節，說明該系統以五階表示不是很準確。由于系統的阻尼很低，速度放大系數（開環增益）很小，經驗證，系統的快速性和精度很差，無法滿足系統的要求。需要對系統進行校正，在滿足穩定性要求的前提下，提高其響應速度和精度?；钊捻憫€系統不穩定，在活塞桿與負載之間有彈簧存在，對其數學建模時，機械連接剛度的存在嚴重影響系統的穩定性。

4 系統穩定性分析

4.1 半閉環穩定性分析

4.2 全閉環穩定性分析

系統的反饋從活塞桿或負載處取出，它的連接環節點不同，其穩定性也是不一樣的，故反饋連接點與系統的性能有很大的關系，從圖8和圖10的特征根中得出結論，反饋點的不同，全閉環系統穩定，半閉環系統不穩定，出現正值特征根。

如圖10是全閉環系統，反饋是從負載處取出的。此時系統的穩定性受到綜合諧振頻率和阻尼比的限制。

對于慣性很大伺服系統綜合諧振頻率要低于液壓固有頻率和結構頻率，而且結構頻率遠低于液壓固有頻率，所以可視為結構頻率約等于綜合固有頻率，所以結構頻率成為限制液壓伺服系統頻寬和穩定性的重要因素?？紤]提高系統的穩定性和頻寬時，就要提高系統的綜合固有頻率和阻尼比。

從圖11零極點分布圖和圖12奈奎斯特圖中可看出，系統的特征根是：s₁=-883.273626708361+892.812932745551i，s₂=-883.273626708361-892.812932745551i，s₃=-8.82066154598888+199.718533690883i，s₄=-8.82066154598888-199.718533690883i，S₅=-1.08093768688746，可知所有極點都在系統的左側，滿足線性定常系統穩定性條件。從特征根中可以看出，s₅對閉環系統的影響較大，它是離虛軸最近的點，系統相應的過渡過程由閥控缸的閉環極點的暫態分量決定。

5 結論

1）通過研究可知機械連接剛度、負載彈簧剛度和液壓彈簧剛度對系統的固有頻率和阻尼比有很大影響，當k_s1和k_s2相等、并且遠小于液壓彈簧剛度的情況下，可知系統快速響應性能變差，穩態誤差變大但是系統穩定性良好。

2）通過對電液伺服系統建模，系統的穩定性研究可知，系統反饋點的不同對系統的穩定性影響很大，全閉環系統穩定，半閉環的系統不穩定。

3）對系統存在于多個位置的彈性環節建?？芍?，液壓彈簧剛度、機械連接剛度和負載彈簧剛度構成了一個綜合諧振（機械和液壓相互耦合）的系統。