方程組中整體代入法的應用方法

李金萍

【摘 ?要】隨著新課程改革的不斷深入，中考中的各類題型也趨向多元化。在現如今的初中數學題型中，方程組求解問題已然成為考試時的重點以及難點。但是在目前的實際教學中，教師往往會發現學生對于方程組求解這一問題缺乏解決思路，難以正確解答這一類題型，從而導致學生的數學成績不佳，這一實際存在的問題亟需初中教師的解決。本文筆者就將從實際的初中數學教學實踐出發，通過實際的例題講解，探討在初中數學方程組中整體代入法的有效應用。

【關鍵詞】初中數學;方程組;整體代入法;應用

前言：

所謂的解方程組中的整體代入法，就是將方程組中的方程式進行等價變化，并將其中一個變換后的方程式整體代入到另一個方程式中，從而極大簡化解題過程的方法。這一方法的有效應用，能夠幫助學生充分縮短解題的時間和計算量，從而有效 提升解題的效率和正確性。同時，學生還能夠在有效運用這一方法過程中，培養靈活的數學思維模式和提升學生的數學解題能力。

一、應用整體代入法，解二元一次方程組

在初中中考數學中，二元一次方程組的解答是一個較為重要的部分，也是較多復雜的解答題的基礎。但是，在二元一次方程組的解答過程中，如果學生不能夠應用正確的解答方法，一味地通過加減消元法解題，那么學生在遇到較為復雜的方程組解答過程中，將會花費大量的時間或者精力在運算過程中，甚至還會因為計算上的失誤而導致計算結果的錯誤。在部分二元一次方程組中，有效應用整體代入法，則能夠有效縮短學生在解題中使用的實踐，同時有效減少學生在解題過程中由于粗心而出現錯誤的可能。同時，學生在運用整體代入法對這一題型進行解答過程中，還能夠在一題多解的嘗試過程中，有效提升學生對數學解題方法的理解和對數學知識點和性質的掌握，從而有效提升學生的數學解題能力，有效提升中考中解題的速度。

例如，在以下的二元一次方程組的例題中，教師就可以引導學生采用整體代入法，有效縮減計算量。教師可以先為學生提出“求3x+5y=8，6x+7y=11這一方程組的解”這一問題，引導學生采用傳統的加減消元法進行計算。在計算過程中，學生會對方程式進行乘法以及加減法運算，從而解決這一問題。此后，教師可以引導學生想一想還有沒有其他的解題方法。在學生思考之后，教師可以利用整體代入法講解這一例題。教師可以將3x+5y=8這一方程式乘以2之后，整體代入到另一個方程式中，從而解決這一例題。在講解之后，教師可以引導學生想一想這一解法的優勢。此后，教師就可以為學生提出“求x+2y=7，5x-3y=10的解”這一問題。學生在聽懂教師的例題講解之后，就能夠有效運用這一方法完成這一題的解法。在這樣的教學環節中，學生就能夠有效掌握整體代入法在二元一次方程組中的應用。

二、應用整體代入法，解二元二次方程組

二元二次方程組對于初中階段的學生而言，解決的難度較高，甚至有學生在遇到這一類問題時束手無策，在考試過程中花費大量的時間也解不出來這一題型，從而只能在考試過程中將這一類題型放棄。二元二次方程組由于出現二次項，尋常的加減消元法固然已經無法有效運用。因此，教師應引導學生在遇到二元二次方程組的問題時，采用整體代入法，化二次為一次，有效降低解題的難度，從而幫助學生能夠有效解決這一問題。在實際解答過程中，教師就可以引導學生仔細觀察方程組中二次式的結構，并嘗試將其化簡，將平方和轉變為兩代數式的乘積，從而為另一方程式的代入創造機會。

例如，教師在進行如下二元二次方程組講解過程中，就可以應用整體代入法，引導學生應用這一方法幫助解題。在“求方程組x2-y2-3x+2y=12，x+y=7的解”這一題中，教師就可以引導學生先將含有二次項的方程式進行等價變換。學生在教師的引導下，發現x2-y2可以轉變為x與y的和與差的乘積，即二次項的方程式可以轉變為（x+y）（x-y）-3x+2y=12。學生發現，這一式中就出現一次方程。此后，教師就可以引導學生將一次方程代入到化簡后的二次方程中，從而將二次方程轉變為一次方程。在這樣的解題環節中，通過整體代入法的有效應用，二元二次方程組被轉變為學生能夠輕松解答的常規的二元一次方程組。這樣的解答思路也就有效保證學生在遇到相關問題時，能夠輕松完成這一題型的解題。

三、應用整體代入法，解分式方程組

在方程組求解的問題中，分數方程組求解起來比較復雜，學生如果采用常規的解題方法往往會將方程組越化越復雜，從而導致學生在解題過程中走到死胡同，最后無法完成題目的有效解決。因此，教師就可以引導學生在遇到這一類的問題時，采用整體代入法和整體換元法，從而將復雜的問題簡單化，有效提升學生解決這一類實際問題的能力，從而有效提升學生在中考中的數學成績。

例如，在“1/x+1/y=1/24，30/x+20/y=1的解”過程中，教師就可以引導學生采用整體代入法，降低解題的難度。教師可以引導學生將30/x+20/y=1轉變為20（1/x+1/y）+10/y=1，學生發現在這一方程式中，出現1/x+1/y這一整體。此后，教師就可以引導學生將這一整體代入到另一個方程式中，從而出現20/24+10/y=1這一結果，此后學生就能夠根據這一代數式輕松解決y的值，并以此完成這一題的解答。在這樣的解決過程中，如果學生采用分式化簡的方法，將會導致方程式轉變為復雜的二元二次方程組，計算量極大，學生在這樣的計算量之下，只能夠放棄這一題的解答。而在利用整體代入法的解答過程中，運算量較小，學生在掌握方法的前提下，輕松就能夠完成，從而有效保證學生能夠在考試中取得較高的成績。

總結：

總而言之，方程組的解是初中數學中的一個比較重要的考試題型，也是數學中考中的重點。但是，方程組求解的思路和方法千變萬化，方程組的題型也各不相同。教師在進行這一部分的例題講解過程中，應引導學生充分采用整體代入法，有效提升方程組求解的能力，從而有效提升學生的數學成績。

參考文獻：

[1]戶素花.初中數學方程組解題教學方法研究[J].中國農村教育，2019（4）：84-85.

[2]鄭艷.初中數學用方程組解決應用題策略的研究[J].中外交流，2018（22）：290-291.

（作者單位：廣西橫州市橫州鎮第三初級中學）