問題引導，變式探究

師斌

摘? 要：提高高中數學課堂教學效率的策略：

①深挖例題;②問題引導;③變式探究。

關鍵詞：課堂教學;問題引導;變式探究;案例分析

著名教育學家波利亞說：“一個專心認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但不復雜的題目，去幫助學生挖掘題目的各個方面，通過這道題目，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域。”在高中數學課堂教學過程中，尤其是習題課和復習課的教學，教與學都很容易陷入汪洋題海，不能自拔，效率低下。對例題、習題進行變式探究，是激發學習興趣、拓展思維空間、提升數學素養、提高學習效率的一條十分有效的途徑。

教學案例1：圓錐曲線中直線斜率乘積為定值問題

問題的提出：（人教A版高中課本選修2-1第80頁復習參考題A組第10題）已知△ABC的兩個頂點分別是（-5，0），（5，0），且AC、BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），試探求頂點C的軌跡。

解析：（Ⅰ）設C（x，y），則由題知，

化簡得即為點C的軌跡方程.

當m>0時，點C的軌跡為焦點在x軸上的雙曲線（不含A、B兩點）;

當m<-1時，點C的軌跡為焦點在y軸上的橢圓（不含A、B兩點）;

當m=-1時，點C的軌跡為圓心為（0，0），半徑為5的圓;

當-1

思維拓展：此題揭示了有心曲線家族成員的圓、橢圓、雙曲線的統一性和內在的聯系，那么它們有沒有一些共同性質呢？

探究問題1：大膽類比、提出猜想

猜想1、

猜想2：

猜想3：

探究問題2：論證猜想，得出結論

橢圓性質1：不平行于坐標軸的直線l與橢圓相交于A、B兩點，P為弦AB中點，則。

橢圓性質2：不平行于坐標軸的直線l與橢圓相切與點P，連接OP，則。

橢圓性質3：過原點的直線l與橢圓相交于A、B兩點，P為橢圓上的任一點，連接AP、BP，則。

探究問題3：雙曲線有沒有類似結論呢？類比猜想并論證。

雙曲線性質1：

不平行于坐標軸的直線l與雙曲線相交于A、B兩點，P為弦AB中點，則。

雙曲線性質2：不平行于坐標軸的直線l與雙曲線相切與點P，連接OP，則。。

雙曲線性質3：過原點的直線l與橢圓 相交于A、B兩點，P為橢圓上的任一點，連接AP、BP，：則。

探究問題4：定理應用

高考真題1：（2015年高考全國二卷20題第1問）已知橢圓C：，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.

（I）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值;

（II）若l過點（，m），延長線段OM與C交于點P，

四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率，若不能，說明理由。

高考真題2：（2013年高考山東卷22題第3問）橢圓的左、右焦點分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.

（Ⅰ）求橢圓的方程;

（Ⅱ）點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接。設的角平分線交的長軸于點，求的取值范圍;

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個公共點。設直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個定值.

波利亞曾形象地指出：“好的問題同某些蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個?！备咧袛祵W課堂教學中的變式教學就是這樣一個“采蘑菇”的過程，由一個基本問題出發，運用特殊化、一般化、分解、重組、增加背景、改變要素以及類比、聯想等思維方法，引出一連串的問題，而通過問題探究式學習，會使我們更好的理解問題的本質，提高思維水平，感受數學的美，提升數學素養，是提高高中數學課堂教學效率，深度學習的有效策略。

按照課程標準，在數學學習中應培養好數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析六大核心素養，使學生獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”）;提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”），在數學教師每天的課堂教學中，堅持“深挖教材和例題，問題引導，變式探究”的教學策略，既抓住“問題是數學的心臟”這一學科特點，也是落實核心素養切實有效的途徑。

參考文獻

[1]? G·波利亞.《怎樣解題》——數學思維的新方法[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

[2]? 范永明.復習教學中練習講評的有效性探索[J].中學數學，湖北大學《中學數學雜志社》，2017-3-上（高中版）.