立體幾何平行或垂直問題解題策略

黃森宏

【摘要】高考立體幾何試題具有較強的綜合性與交匯性，是每年高考的必考內容，考試突出綜合性，重視基礎知識、基本技能，突出空間想象、數形結合思想等思想。對于高中立體幾何有關平行垂直的證明與求解，需要對判定定理與性質定理，平面圖形性質及結構特征，線線、線面、面面關系三者的互相轉化等等非常的熟悉與熟練。我們通過挖掘圖形特征，逐句提煉出所需平行或垂直信息及可能做的輔助線，熟練運用線線、線面、面面的平行或垂直的性質定理及互相轉化關系，形成嚴謹的推導能力。

【關鍵詞】立體幾何 圖形特征 平行垂直 性質定理 輔助線 點線面相互關系的轉化

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（2020）14-095-02

立體幾何在高考中占有非常重要的地位，在高中數學知識系統中的占比比較大，一般理數占22分、文數占22-27分，其題型與題量一般是1個解答題，理數2個小題，文數2-3個小題，小題位于5-8是中等難度的題目，另一小題是11-12題或填空的最后一題的位置，大題一般在第18題的位置，基本都突出考查平行垂直問題。立體幾何試題有較強的綜合性與交匯性，考試突出綜合性，重視基礎知識、基本技能，突出空間想象、數形結合思想等思想。在多年的教學經歷中，對于高中立體幾何有關平行垂直的證明與求解，需要對判定定理與性質定理，平面圖形性質及結構特征，線線、線面、面面關系三者的互相轉化等等非常的熟悉與熟練，所以學生普遍對此存有一定的畏懼心理。那么我們應該如何有效地解決立體幾何中的平行垂直問題呢？下面我簡單歸納立體幾何中平行與垂直的知識架構。

1.如圖，多面體中ABCDEF中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，AB=2， DF=BE=1， AF=CE= ，且平面ADF⊥底面ABCD.平面BCE⊥底面ABCD 求證：EF⊥平面ADF

在解決數學問題的時候，我們首先要明確所需解決的是什么問.題，很明顯，這道題考查的是線面垂直，這是屬于垂直的問題，下面我們再根據條件提煉垂直信息。

①底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，這里有表格里出現的信息。我們發現△ABD是等邊三角形，那它很可能要作△ABD其中一邊的中線，因為有“三線合一”的性質。當然菱形也還有對角線互相垂直這個信息點。那基本上很可能就要作中線這條輔助線。

②AB=2，DF=BE=1，AF=CE= ，這里出現邊長，很可能要通過計算提煉出垂直信息，我們發現，通過計算用勾股定理可得出∠AFD與∠BEC都是直角，其中二個銳角還是30度與60度的銳角。

③我們再看第三句，平面ADF上底面ABCD，平面BCE⊥底面ABCD，那么很明顯需要用到面面垂上的性質定理，也就是很可能要作輔助線是過點F作直線AD的垂線，過點E作直線BC的垂線這二條！到現在，我們把每個條件都提煉了，接下來就是證明，證明過程如下。

證明：分別過點E，F作BC，AD的垂線，垂足為N，M，連結MN，

這道題很好地用到了平面圖形的特征，面面垂直的性質定理，我們很順利地作出解決問題所需的輔助線，然后運用線面垂直的判定定理，空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查了運算求解能力，很好地啟發了學生的思考能力，培養了學生的邏輯思維能力，提升了學生的計算能力！提升了學生解決問題的能力1

2.梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，CD=2，AD=AB=1，四邊形BDEF為正方形，且平面BDEF⊥平面ABCD.

（1）求證：DF⊥CE.

（2）若AC與BD相交于點0.則在棱AE上是否存在點G，使得平面OBG∥平面EFC？并說明理由。

證明（1）連接EB.

這些例子通過研究各平面圖形，挖掘圖形特征緊抓圖形特征，從圖形特征中，從題目的條件找出可能需用到的定理，進而找到所需做的輔助線，同時熟練掌握并記憶線線，線面，面面的平行或垂直的性質定理及它們之間的互相轉化，做到這些，離解決問題就成功了一大半。同時加強學生的書寫規范，做到能完整地寫出證明與求解過程！形成線線關系，線面關系，面面關系三者相互轉化的推導能力。做到分分必爭，分分必得！讓學生學起來有成就感，體會到學習數學的樂趣，讓學生學會學數學，樂于學數學，在數學這個學科上，真正地愛上數學！也是我們數學人共同的愿望！

【注：本文系廣東教育學會教育科研規劃小課題“立體幾何平行垂直的證明及解題的方法與策略研究”成果（課題編號：GDXKT22002）】