基于核心素養的一道正多邊形習題的變式教學課例探究

葉巧玲 李志平

【摘要】變式教學是初中數學中常用的教學方法。本文從教學實踐出發，以改變基本問題、新舊知識互融、問題難度遞增、應用問題延伸、運用類比學習等進行，探討變式教學的實施策略。

【關鍵詞】數學核心素養 變式教學

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（2020）14-093-02

初中數學教學中理解數學學科核心素養，即從數學抽象、數學建模、邏輯推理、直觀想象、數學運算、數據分析六個要素來進行。變式教學不僅是初中數學教學的優秀傳統，而且是促進學生核心素養落地的重要途徑，更是數學教師的長遠任務。

一、解法探究

（一）原題導入

1.原題出處：新人教版教材九年級（上）P109復習題4cm第6題。如圖，正方形的邊長為4cm，剪去四個角后成為一個正八邊形，求這個正八邊形的邊長和面積。

2.背景分析：本題是正多邊形的綜合，學生相對較陌生，借助這道習題將各知識點串連起來，具有形態各異的變式和豐富的研究價值。

（二）原題探析

1.思路分析：求正八邊形的面積有直接和間接兩種方法。

2.解題過程：

3.考點分析：本題難度中等，主要考查學生用方程思想解決幾何問題的能力。

4.設計意圖：此題把圖形和代數巧妙結合，培養學生數學運算和邏輯推理的核心素養。

二、變式探究

（一）改變基本問題，幫助學生奠定基礎

3.考點分析：變式1主要考查正多邊形的性質及三角形全等的判定方法。

4.設計意圖：此題把三角形的判定與正多邊形有機結合，考查學生的識圖能力和分析能力，有利于培養學生的幾何直觀和邏輯推理等核心素養。

（二）新舊知識互融，引導學生形成知識網絡

【變式2】如圖，正方形的邊長為4cm，減去四個角后成為一個正八邊形，連EF、GJ，求證：四邊形FKJG是平行四邊形。

1思路分析：通過正多邊形i系可證得三角形全等，進而證得平行四邊形。

2.解題過程：

證明：易證△BGF≌△DKJ、△AFK≌△CGJ，則GF=KJ、FK=GJ，所以四邊形KJGF是平行四邊形。

3.考點分析：主要考查全等三角形、平行四邊形等在正多邊形中的運用。

4.設計意圖：連接兩條線段，把三角形全等、平行四邊形、正多邊形融為一體，同時培養學生邏輯推理等核心素養。

（三）問題難度遞增，激發學生學習興趣

【變式3】如圖，正方形的邊長為4cm，剪去四個角后成為一個正八邊形，取正八邊形的中點，依次連接各中點，剪去八個小三角形，求證新八邊形為正八邊形。

1.思路分析：欲證八邊形是正八邊形就是證各邊、各角均相等。

2.解題過程：

3.考點分析：運用三角形全等的判定及性質求證八邊形是正八邊形。

4.設計意圖：把正多邊形的判定轉化成三角形問題來解決，實現巧妙的轉化，有利于培養學生邏輯推理等核心素養。

（四）應用問題延伸，促進學生愛上探究

【變式4】如圖，正方形的邊長為4cm，剪去四個角后成為一個正八邊形，取正八邊形的中點，依次連接各中點，剪去小三角形如圖1.圖2在圖1的基礎上再取八邊形的各中點依次連接后剪去，剩下的八邊形是正八邊形，依次類推如圖3圖4，新形成的八邊形是正八邊形。

1.思路分析：與變式3一致，條件結論不變，均是正八邊形的判定。

2.解題過程：類似變式3，再利用三角形全等的性質與判定證明，具體過程略。

3.考點分析：在變式3的基礎上不斷取中點，然后找出規律。

4.設計意圖：此題主要考查學生尋找規律的能力，鼓勵學生大膽猜想，激發學生的好奇心和求知欲，同時陶冶學生邏輯推理等數學核心素養。

（五）運用類比學習，發散學生數學思維

【變式5】如圖1，正方形的邊長為4cm，各邊取中點，依次連接成三角形再剪去，將剩下正四邊形.依次類推，每個新正四邊形取中點連接再剪去，剩下的是正四邊形。

按上述方法裁剪，依次類推如圖2、圖3、圖4，正n邊形取各邊中點，依次連接成三角形再剪去，將剩下正n邊形。依次類推，每個新正n邊形取中點連接再剪去，剩下的是正n邊形。

1.考點分析：運用三角形全等的判定及性質求證新n邊形為正n邊形。

2.設計意圖：從特殊到一般，讓學生對幾何圖形充滿好奇，感受到快樂，同時使學生的直觀想象、邏輯推理、數學抽象等核心素養得到鍛煉。

三、變式小結

本文的變式緊緊扣住書本的正八邊形習題，巧妙融人三角形、平行四邊形等知識，再為正多邊形判定提供方法，是一種再創造性的學習過程，是培養學生邏輯推理和探究能力的重要途徑，同時使學生的數學核心素養得到有效的滲透。

【參考文獻】

[1]楊偉東，楊燕良活用教材，提升素養——以等腰直角三角形為栽體的變式教學[J].中學數學，2020 （04）：34.

[2]李志平，基于核心素養的初中幾何題變式教學策略及課例賞析[J].中學數學，2020 （04）：24-26.

[3]楊偉東數學“歡樂課堂”五部曲，高效教學模式探究與實踐[J].中學數學，2019（14）：90-91