淺談高考解析幾何題中幾何特征的挖掘

李建波

【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】1992-7711（2020）14-092-01

解析幾何的本質(zhì)就是用代數(shù)方法去研究幾何圖形問(wèn)題，很多學(xué)生在遇到解析幾何問(wèn)題時(shí)，往往想通過(guò)“純”代數(shù)運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算量非常大，即使能算出來(lái)也會(huì)花費(fèi)大量的時(shí)間，更多的無(wú)法計(jì)算出最后的結(jié)果。

例1：（2016年全國(guó)Ⅲ第16題）已知點(diǎn)M（-1，1）和拋物線C：y2=4x，過(guò)C焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，若∠AMB-90°，則求k的值。

這只是一道小題，很顯然這樣不考慮題中幾何特征的“純”代數(shù)解法計(jì)算量很大，而且會(huì)花費(fèi)大量時(shí)間。倘若能挖掘出點(diǎn)M落在拋物線的準(zhǔn)線上，利用拋物線何性質(zhì)以及圓的幾何性質(zhì)會(huì)大大減少計(jì)量。

解法二：作出拋物線準(zhǔn)線x=-l，過(guò)A、B分別做準(zhǔn)線的垂線，交于點(diǎn)A¹、B¹，過(guò)M點(diǎn)作平行x軸的線交AB于點(diǎn)M¹，∴AA¹∥MM¹∥BB¹∵∠AMB=90°∴以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M又∵由拋物線直線可得：AB=AF+BF=AA¹+BB¹

很容易知道MM¹為直角梯形AA¹B¹B的中位線。

從這道高考解析幾何題的兩種解法中，很顯然挖掘過(guò)題中幾何特征的解法二計(jì)算更簡(jiǎn)單。那一般解析幾何的幾何特征一般可以從點(diǎn)、直線方程、曲線返程、圖形的位置關(guān)系等方面去挖掘，一般來(lái)說(shuō)，挖掘出越多的幾何特征，解答過(guò)程就會(huì)越簡(jiǎn)單。我們?cè)倏纯聪旅孢@兩道高考題，體會(huì)體會(huì)其中的奧妙。

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離萬(wàn)事休”。利用幾何特征解決幾何問(wèn)題凸顯出數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體之一。