芻議小學(xué)生“數(shù)學(xué)模型”核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

陳燈 劉楊

摘 ?要：“數(shù)學(xué)模型思想”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》新增的核心概念之一，文章就課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)的內(nèi)涵進(jìn)行理解，嘗試提出一些培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)的途徑和策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型;教育價(jià)值;策略

一、“數(shù)學(xué)模型”的含義

數(shù)學(xué)建模，即把在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的煩瑣知識(shí)點(diǎn)以及解決問(wèn)題中的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行提煉、總結(jié)，抽象為數(shù)學(xué)模型、求出模型的解、驗(yàn)證模型的合理性，最終形成解決問(wèn)題的模型這一過(guò)程就是“數(shù)學(xué)建模”。張奠宙教授認(rèn)為：“廣義地講，數(shù)學(xué)中各種基本概念和基本算法，都可以叫作數(shù)學(xué)模型。加減乘除都有各自的現(xiàn)實(shí)原型，它們都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景抽象出來(lái)的。但是，按通行的比較狹義的解釋?zhuān)挥心切┓从程囟▎?wèn)題或特定的具體事物系統(tǒng)和數(shù)學(xué)關(guān)系的結(jié)構(gòu)才可稱(chēng)為數(shù)學(xué)模型。例如，平均分派物品的數(shù)學(xué)模型是分?jǐn)?shù);元角分的計(jì)算模型是小數(shù)的運(yùn)算;1000人的學(xué)校里一定有兩個(gè)人一起過(guò)生日，其數(shù)學(xué)模型就是抽屜原理”。數(shù)學(xué)模型是運(yùn)算定律、數(shù)學(xué)符號(hào)以及數(shù)學(xué)式子對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的簡(jiǎn)化描述，是在知識(shí)本質(zhì)理解的基礎(chǔ)上，加以抽象、概括后，進(jìn)而用簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言描述出相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

二、“數(shù)學(xué)模型”的教育價(jià)值

（一）數(shù)學(xué)建模有利于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值和作用

數(shù)學(xué)建模為學(xué)生創(chuàng)造主動(dòng)學(xué)習(xí)的契機(jī)，開(kāi)啟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新方式，經(jīng)歷綜合運(yùn)用知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的理解;讓學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)學(xué)與日常生活以及其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中體會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值與作用，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣得以激發(fā)，從而發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。

數(shù)學(xué)模型與知識(shí)本質(zhì)是一種反映與被反映的關(guān)系，知識(shí)本質(zhì)中包含著許多瑣碎的、零散的知識(shí)點(diǎn)，這些知識(shí)點(diǎn)相互影響而且呈現(xiàn)著錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，通過(guò)總結(jié)、歸納構(gòu)建模型。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型也就是簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的知識(shí)點(diǎn)，舍棄無(wú)關(guān)的、瑣碎的知識(shí)，把主要知識(shí)點(diǎn)加以純化，讓知識(shí)本質(zhì)得以聯(lián)系，即梳理出主要知識(shí)點(diǎn)的關(guān)系，首先必須對(duì)原始知識(shí)做必要的、適度的簡(jiǎn)化假設(shè)，而后運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)分析的方法，用簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)知識(shí)本質(zhì)的聯(lián)系進(jìn)行描述。數(shù)學(xué)模型可以提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)清晰、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)和理解，對(duì)數(shù)學(xué)的表達(dá)和交流提供更加有效的途徑，也為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供重要的工具。

（二）數(shù)學(xué)建模有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的改善

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并不是單純地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，它是一個(gè)具有邏輯性的、綜合性的過(guò)程，它具有過(guò)程性、搜索性、活動(dòng)性、問(wèn)題性等特點(diǎn)，有利于改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型過(guò)程中，用到的學(xué)習(xí)方式通常有：信息技術(shù)輔助學(xué)習(xí)方式、開(kāi)放式學(xué)習(xí)方式、合作式學(xué)習(xí)方式、小課題學(xué)習(xí)方式。

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是研究人類(lèi)社會(huì)實(shí)際問(wèn)題和自然界的一般方法，也是數(shù)學(xué)理論研究的一種經(jīng)典方法，數(shù)學(xué)模型思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)建模一般按以下幾步進(jìn)行：第一步，對(duì)知識(shí)本質(zhì)進(jìn)行分析、概括，建立起連接知識(shí)本質(zhì)的模型;第二步，對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行推理和演算，根據(jù)已知的數(shù)據(jù)或條件對(duì)模型求解，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)模型的解;第三步，把所得的解代入數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步驗(yàn)算數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是由幾個(gè)人組成的小組來(lái)開(kāi)展的，大家密切配合，集思廣益，取長(zhǎng)補(bǔ)短，分工合作，可以激發(fā)學(xué)生共同討論問(wèn)題，集體公關(guān)的協(xié)作精神，并利用集體的智慧選擇最佳方案。

（三）數(shù)學(xué)建模有利于學(xué)生理解、掌握知識(shí)的本質(zhì)

學(xué)生在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中多種能力都能得以提升，學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中理解、掌握有關(guān)知識(shí)、技能，有利于學(xué)生理解、掌握知識(shí)的本質(zhì)，感悟模型思想的本質(zhì);使學(xué)生更有思想、方法，積累一些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)，其情感態(tài)度（如興趣、自信心、科學(xué)態(tài)度等）也得以提升。

學(xué)生在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的活動(dòng)中，其對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解也更深一層，學(xué)生調(diào)動(dòng)原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)嘗試解決新問(wèn)題，就是同化新知識(shí)并構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模式的過(guò)程，在做數(shù)學(xué)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)、交流數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)的過(guò)程中，原有的知識(shí)儲(chǔ)備在學(xué)生的主動(dòng)調(diào)用下得到進(jìn)一步理解，并主動(dòng)將各部分知識(shí)加以聯(lián)想整合，原本獨(dú)立的知識(shí)體系在這一過(guò)程中也變得更加完整，進(jìn)而統(tǒng)一。

三、培養(yǎng)小學(xué)生“數(shù)學(xué)模型”素養(yǎng)的策略

作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)重要數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)工具，“數(shù)學(xué)建模”不僅是對(duì)現(xiàn)實(shí)中的某一特定數(shù)學(xué)對(duì)象和規(guī)律進(jìn)行分析與展示，還能在此基礎(chǔ)上開(kāi)展一些必要的假設(shè)與簡(jiǎn)化，以此來(lái)形成一種獨(dú)到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，同時(shí)該教學(xué)手段也能夠有效地提升小學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（一）理解知識(shí)本質(zhì)，樹(shù)立建模意識(shí)

1. 挖掘課本素材，激發(fā)建模意識(shí)

數(shù)學(xué)教育思想在新的教育形勢(shì)下也悄然發(fā)生著改變，由此新的教材內(nèi)容教學(xué)方法以及數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的制定也得以更改。例如在教學(xué)《雞兔同籠》時(shí)，教師首先可以讓學(xué)生用列表法解答問(wèn)題，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)當(dāng)數(shù)量很多的時(shí)候用列表法有一定的局限性。這時(shí)順勢(shì)出示假設(shè)法，把雞假設(shè)成兔子，這樣建立模型時(shí)學(xué)生就比較容易接受。在教學(xué)“雞兔同籠”這一經(jīng)典課例中，教師一般都是引導(dǎo)學(xué)生以“雞”或“兔”的角度來(lái)思考，通常先假設(shè)都是兔子，待學(xué)生解釋清楚這種方法的步驟，又可以讓學(xué)生假設(shè)全部都是雞來(lái)解決這道題。經(jīng)過(guò)這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)不管是假設(shè)都是兔子，還是假設(shè)都是雞，我們的數(shù)學(xué)模型都是一樣的，讓學(xué)生感受基本的數(shù)學(xué)模型。

2. 溝通知識(shí)運(yùn)用，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)

數(shù)學(xué)應(yīng)用已成為廣大數(shù)學(xué)教育工作者的共識(shí)，數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的改革，呼喚數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)質(zhì)量。例如“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)”教學(xué)，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式是長(zhǎng)與寬的和乘2，而在學(xué)生初次學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)時(shí)部分學(xué)生習(xí)慣用“長(zhǎng)×2加寬×2”，這種普遍情況主要是由于學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形的特征理解不深刻造成的。教師可以借助實(shí)物以及圖形來(lái)輔助學(xué)生理解長(zhǎng)方形模型，充分理解長(zhǎng)方形的四條邊可以分為兩組，每組分別為一條長(zhǎng)和一條寬，要求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)只需求出一組長(zhǎng)和寬的和，再乘2。從長(zhǎng)方形的特征本質(zhì)去理解長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式，在理解知識(shí)的過(guò)程中逐步樹(shù)立建模意識(shí)，隨著學(xué)生理解能力的提升，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)有更高的要求，提升數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)。

（二）設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，體會(huì)建模過(guò)程

幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，教師應(yīng)抓住合適的時(shí)機(jī)，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆绞揭龑?dǎo)學(xué)生參與進(jìn)來(lái)，經(jīng)歷整個(gè)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，通過(guò)觀察、操作、分析、概括等方式，其中最為核心的就是要讓學(xué)生親身經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生擁有真正的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。例如在教學(xué)《圓柱體積》時(shí)，如圖1，學(xué)生首先通過(guò)操作、分析以及多媒體教學(xué)軟件等手段的綜合應(yīng)用，理解將一個(gè)圓形轉(zhuǎn)化為一個(gè)近似長(zhǎng)方形，進(jìn)而溝通將一個(gè)圓柱轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體，滲透極限思想，在構(gòu)建圓柱體積公式的數(shù)學(xué)模型這一過(guò)程中，通過(guò)轉(zhuǎn)化原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)變，從而找到思維策略背后所存在的共同性與差別性，最終構(gòu)建圓柱體積公式這一數(shù)學(xué)模型。這種用以往的舊知識(shí)轉(zhuǎn)化出新知識(shí)的學(xué)習(xí)方式，是一種數(shù)學(xué)模型搭建過(guò)程中的催化劑，也會(huì)對(duì)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行體驗(yàn)與提煉，還能幫助與支撐整體的構(gòu)建理性的提升。

（三）利用多種方式，理解數(shù)學(xué)模型

小學(xué)階段的模型思想的教學(xué)，作為學(xué)生建模的初級(jí)階段十分重要，應(yīng)當(dāng)抓住合適的時(shí)機(jī)、利用適當(dāng)?shù)膬?nèi)容、采取合適的方式讓學(xué)生來(lái)體驗(yàn)和感悟模型思想，經(jīng)歷構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，如教學(xué)：長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)、面積計(jì)算，三角形內(nèi)角和的計(jì)算，長(zhǎng)方體、正方體的棱長(zhǎng)、表面積、體積計(jì)算，圓的周長(zhǎng)、面積計(jì)算。而幾何公式的教學(xué)都以認(rèn)識(shí)特征為基礎(chǔ)——從二維圖形到三維圖形，從直邊到曲邊，學(xué)生對(duì)于公式的探索都是建立在對(duì)構(gòu)成圖形的特征要素的充分認(rèn)知的基礎(chǔ)之上，同時(shí)更多地以溝通聯(lián)系為手段——構(gòu)建公式總是要研究長(zhǎng)方形、正方形或長(zhǎng)方體、正方體的周長(zhǎng)、面積、體積與長(zhǎng)寬（高）之間的聯(lián)系，研究?jī)?nèi)角和與三個(gè)內(nèi)角之間的聯(lián)系，研究圓周長(zhǎng)、面積和圓半徑、直徑之間的聯(lián)系，以此形成模型。

（四）借助已有經(jīng)驗(yàn)，提升建模能力

學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的重要前提，能提供強(qiáng)勁的數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)動(dòng)力，啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。例如，在教學(xué)“行程問(wèn)題”時(shí)，學(xué)生構(gòu)建行程問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型思想過(guò)程中，教師通常運(yùn)用一段學(xué)生切身經(jīng)歷來(lái)喚起學(xué)生的生活記憶：“甲乙兩車(chē)同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開(kāi)出，甲車(chē)行完全程要8小時(shí)，乙車(chē)行完全程要10小時(shí)，幾小時(shí)后在距中點(diǎn)40千米處相遇？A、B兩地相距多少千米？”對(duì)這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生是有一定的生活經(jīng)驗(yàn)的，首先可以讓學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)用語(yǔ)言描述甲乙兩車(chē)的行駛路程是怎樣的，理解“同時(shí)、相對(duì)、中點(diǎn)”等重要詞語(yǔ)的意思，再通過(guò)畫(huà)線段或示意圖的方式來(lái)表達(dá)甲乙兩車(chē)行駛的過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖的方式結(jié)合已有的生活經(jīng)驗(yàn)描述甲乙兩車(chē)的行駛路線，最終充分利用已有的生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)完成相應(yīng)的數(shù)學(xué)解析。

四、小結(jié)

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，本質(zhì)就是“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，這種“數(shù)學(xué)化”不是抽象的“形而上”的，也不是空洞的“形式化”的，而是站在數(shù)學(xué)的視角去觀察、分析、解決問(wèn)題。“數(shù)學(xué)建模”現(xiàn)已成為新課程改革的一個(gè)重要方向和關(guān)鍵性?xún)?nèi)容，教師需要引起高度重視，對(duì)數(shù)學(xué)建模策略進(jìn)行深入研討和總結(jié)歸納。