基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵實(shí)證研究

余慶純，汪曉勤

基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵實(shí)證研究

余慶純1，汪曉勤2

（1．華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200241；2．華東師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，上海 200062）

采用德?tīng)柗品ā⑽谋痉治龇ㄩ_(kāi)展質(zhì)性研究，通過(guò)對(duì)“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵分析框架的論證與修正、2012—2018年間的20個(gè)高中HPM課例分析發(fā)現(xiàn)，基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵可分成知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂(lè)與多元文化5個(gè)維度，且在教學(xué)實(shí)踐中5個(gè)維度運(yùn)用不均衡．為了更好地揭示數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值，教師需要注重歷史學(xué)習(xí)，夯實(shí)理論基礎(chǔ)，立足教育現(xiàn)實(shí)，加強(qiáng)實(shí)證研究．

德?tīng)柗品ǎ晃谋痉治龇ǎ粩?shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)文化；HPM課例

1 問(wèn)題提出

關(guān)于數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，很多學(xué)者都曾作過(guò)探討．顧沛在談及“數(shù)學(xué)文化”時(shí)，從兩個(gè)方面進(jìn)行闡述：“狹義的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵是指數(shù)學(xué)思想、精神、方法、觀(guān)點(diǎn)以及它們的形成和發(fā)展；廣義上的數(shù)學(xué)文化除上述內(nèi)涵外，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)與人文的交叉、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等．”[1]代欽基于一般文化的各種定義和數(shù)學(xué)學(xué)科以及數(shù)學(xué)與人類(lèi)其他文化關(guān)系，進(jìn)一步提出：數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法及其在人類(lèi)活動(dòng)的應(yīng)用以及與數(shù)學(xué)有關(guān)的民俗習(xí)慣和信仰的總和，并指出數(shù)學(xué)文化具有規(guī)范特征、審美特征、認(rèn)知特征、歷史特征、價(jià)值特征[2]．對(duì)于數(shù)學(xué)文化的5個(gè)特征之間的聯(lián)系，有待深入研究．后來(lái)，楊豫暉、宋乃慶等學(xué)者總結(jié)了國(guó)內(nèi)已有的數(shù)學(xué)文化理論研究成果，分別從數(shù)學(xué)學(xué)科、文化、數(shù)學(xué)共同體、數(shù)學(xué)活動(dòng)、系統(tǒng)等5個(gè)角度對(duì)數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵進(jìn)行述評(píng)，提煉出“數(shù)學(xué)文化”的概念界定，即指一群人（數(shù)學(xué)家），當(dāng)他們從事數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，遵循共同的數(shù)學(xué)規(guī)則，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的、歷史的沉淀，形成了許多關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)、精神、思想方法、思維方式等的共同約定的總和，并指出數(shù)學(xué)文化具有思維訓(xùn)練、德育、美育等價(jià)值[3]．可見(jiàn)，對(duì)于“數(shù)學(xué)文化”的內(nèi)涵，沒(méi)有公認(rèn)的概念界定，不同研究者均有不同側(cè)重，且對(duì)數(shù)學(xué)文化的價(jià)值探討更是豐富多元．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）提出：數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀(guān)點(diǎn)以及它們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學(xué)在人類(lèi)生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)[4]．可見(jiàn)，數(shù)學(xué)史是一個(gè)巨大的寶藏，其中蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)的思想、方法、精神及其發(fā)生和演進(jìn)過(guò)程，揭示了數(shù)學(xué)家的文化活動(dòng)以及數(shù)學(xué)在人類(lèi)文明進(jìn)步中的巨大作用，因而成了數(shù)學(xué)文化不可分割的重要組成部分．《標(biāo)準(zhǔn)》在“課程目標(biāo)”中指出：“通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣；樹(shù)立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神；認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值．”[4]同時(shí)，在“教學(xué)建議”中要求：“在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識(shí)和人文素養(yǎng)；將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)，有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)，有利于開(kāi)拓學(xué)生視野、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．”[4]因此，如何在數(shù)學(xué)課程實(shí)施與教學(xué)實(shí)踐中體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值，是數(shù)學(xué)教育工作者和一線(xiàn)教師熱切關(guān)注的重要課題之一．

HPM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系）視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)受到越來(lái)越多一線(xiàn)教師的關(guān)注，相關(guān)的HPM課例也日益增多．實(shí)踐證明：數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，有助于建構(gòu)知識(shí)之諧，彰顯方法之美，營(yíng)造探究之樂(lè)，實(shí)現(xiàn)能力之助，展示文化之魅，達(dá)成德育之效[5]．然而，HPM教學(xué)實(shí)踐中依舊存在“高評(píng)價(jià)、低運(yùn)用”的困境．張奠宙先生曾指出：數(shù)學(xué)教學(xué)往往局限于一個(gè)概念、一個(gè)定理、一種思想的局部歷史的介紹，缺乏宏觀(guān)的歷史進(jìn)程的綜合性描述．實(shí)際上用宏觀(guān)的數(shù)學(xué)史進(jìn)程可以更深刻地揭示數(shù)學(xué)的含義，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的文化理解[6]．目前，人們對(duì)數(shù)學(xué)史的文化價(jià)值的理解還不夠深刻和全面．

有鑒于此，基于《標(biāo)準(zhǔn)》中“數(shù)學(xué)文化”的概念，對(duì)“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵分析框架開(kāi)展深入的論證與修正，并根據(jù)該框架對(duì)高中HPM課例進(jìn)行分析，試圖回答：高中HPM課例中體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵？數(shù)學(xué)文化在不同維度上的分布情況有何特點(diǎn)？是否檢驗(yàn)了“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵分析框架的客觀(guān)合理性？對(duì)今日教學(xué)實(shí)踐與研究有何啟示？

2 研究方法與設(shè)計(jì)

以質(zhì)性研究為主，采用德?tīng)柗品ǎ―elphi method）、文本分析法（text analysis）開(kāi)展研究．德?tīng)柗品ǎ―elphi method）最初是由奧拉夫·赫爾默（Olaf Helmer）和諾曼·達(dá)爾基（Norman Dalkey）在20世紀(jì)50年代提出，后來(lái)該方法廣泛用于教育評(píng)價(jià)指標(biāo)體系的構(gòu)建、評(píng)價(jià)與預(yù)測(cè)等研究領(lǐng)域[7]．德?tīng)柗品ㄊ且环N有效的科學(xué)研究方法，本質(zhì)上采用背對(duì)背的通信方式來(lái)征詢(xún)專(zhuān)家組成員的意見(jiàn)，經(jīng)過(guò)反復(fù)征詢(xún)、歸納、修正，最后使專(zhuān)家組成員的意見(jiàn)趨于一致[7]．文本分析法（text analysis）起源于20世紀(jì)40年代，是指基于文本的內(nèi)容進(jìn)行闡述、分析、論證與評(píng)價(jià)等．庫(kù)卡特（Kuckartz）曾把定性的文本分析分為3大類(lèi)：構(gòu)建式文本分析（type- building text analysis）、主題式定性文本分析（thematic qualitative text analysis）與評(píng)價(jià)式定性文本分析（evaluative qualitative text analysis）[8]．為符合HPM課例的研究要求[9]，采用評(píng)價(jià)式定性文本分析，研究設(shè)計(jì)如下．

（1）框架的論證與修正．基于《標(biāo)準(zhǔn)》所提出的數(shù)學(xué)4類(lèi)價(jià)值以及西方學(xué)者總結(jié)的數(shù)學(xué)史教育價(jià)值提出了“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵分析框架[10]．為檢驗(yàn)分析框架的客觀(guān)合理性，研究采用德?tīng)柗品ǎ栽L(fǎng)談、研討等形式對(duì)該分析框架進(jìn)行剖析與論證，旨在進(jìn)一步修正該分析框架．

（2）課例分析．根據(jù)HPM課例的研究要求，對(duì)收集的2012—2018年的高中HPM課例進(jìn)行篩選，選取出符合要求的20個(gè)高中HPM課例作為研究對(duì)象，分析課例中的基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵及其在不同維度上的分布特點(diǎn)．

3 框架論證與修正

3.1 框架介紹

基于《標(biāo)準(zhǔn)》所提出的數(shù)學(xué)4類(lèi)價(jià)值以及西方學(xué)者總結(jié)的數(shù)學(xué)史教育價(jià)值，可以將課堂數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵分成知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂(lè)和多元文化5個(gè)維度[10]．“知識(shí)源流”是指某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的歷史演進(jìn)過(guò)程中所涉及的人物與事件、概念與術(shù)語(yǔ)、問(wèn)題與求解、命題與證明等．“學(xué)科聯(lián)系”是指數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)．?dāng)?shù)學(xué)乃是人類(lèi)的文化活動(dòng)，這種活動(dòng)與人類(lèi)其它文化活動(dòng)水乳交融、不可分割，數(shù)學(xué)史揭示了數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的密切聯(lián)系[11]．“社會(huì)角色”是指數(shù)學(xué)在人類(lèi)生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義．?dāng)?shù)學(xué)史“有助于解釋數(shù)學(xué)在社會(huì)中的作用”[12]．“審美娛樂(lè)”是指數(shù)學(xué)美（包括對(duì)稱(chēng)美、奇異美、簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美等）與趣味數(shù)學(xué)．《標(biāo)準(zhǔn)》在“美與數(shù)學(xué)”課程中指出：“學(xué)會(huì)審美不僅可以陶冶情操，而且能夠改善思維品質(zhì)．”[4]數(shù)學(xué)史展現(xiàn)出人類(lèi)對(duì)于美的追求、對(duì)于趣味的傾向性伴隨著數(shù)學(xué)的誕生而誕生，“促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的不僅是實(shí)用性因素，而且還有美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)、智力好奇、趣味娛樂(lè)等因素”[11]．“多元文化”是指不同文明、不同地域的數(shù)學(xué)家在同一數(shù)學(xué)課題上的貢獻(xiàn)與意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)[10]．?dāng)?shù)學(xué)從來(lái)不是某個(gè)人、某個(gè)文明、某個(gè)國(guó)家或地區(qū)的專(zhuān)利，不同文化都對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生過(guò)影響，數(shù)學(xué)在不同時(shí)空的歷史演進(jìn)也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)[13]．

基于《標(biāo)準(zhǔn)》中數(shù)學(xué)價(jià)值的表述[4]，嘗試界定數(shù)學(xué)4類(lèi)價(jià)值的內(nèi)涵（如表1所示）．

表1 數(shù)學(xué)4類(lèi)價(jià)值的內(nèi)涵與《課標(biāo)》中的相應(yīng)表述

“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵分析框架[10]給出了基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵與《標(biāo)準(zhǔn)》所提出的數(shù)學(xué)4類(lèi)價(jià)值之間的關(guān)系（見(jiàn)圖1）．

圖1 “基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵分析框架

3.2 框架論證與修正

為檢驗(yàn)分析框架的客觀(guān)合理性，采用德?tīng)柗品ǎ畢⑴c對(duì)象分別是兩位高校研究者與6位一線(xiàn)專(zhuān)家型數(shù)學(xué)教師或教研員（基本信息如表2），均有研究數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化的教研經(jīng)歷，具有一定的代表性．

該研究流程分為3個(gè)環(huán)節(jié)：開(kāi)放式訪(fǎng)談、評(píng)價(jià)式研討、復(fù)核式訪(fǎng)談．開(kāi)放式訪(fǎng)談采用背對(duì)背的形式，了解各位老師對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化的研究情況；評(píng)價(jià)式研討，主要由8位老師針對(duì)“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵分析框架進(jìn)行線(xiàn)上多輪研討、論證與反饋；復(fù)核式訪(fǎng)談是基于評(píng)價(jià)式研討的內(nèi)容，對(duì)各位老師進(jìn)行針對(duì)性地回訪(fǎng)與復(fù)核．

表2 訪(fǎng)談人員的基本信息

基于德?tīng)柗品ǖ淖稍?xún)論證，得出如下結(jié)論．

（1）基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值[4]，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)，承載著落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)．

（2）“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵分析框架關(guān)注“知識(shí)源流”與“多元文化”的互融互通．前者是時(shí)間縱軸，屬于數(shù)學(xué)文化研究，需求深，幫助從數(shù)學(xué)內(nèi)部的視角來(lái)了解數(shù)學(xué)中的文化．后者是空間橫軸，屬于數(shù)學(xué)文化比較，需求廣，幫助從數(shù)學(xué)外部的視角來(lái)認(rèn)識(shí)文化中的數(shù)學(xué)．

（3）“學(xué)科聯(lián)系”從歷史視角連結(jié)數(shù)學(xué)與其它學(xué)科（如哲學(xué)、文學(xué)、天文學(xué)等）的知識(shí)脈絡(luò)，“社會(huì)角色”通過(guò)數(shù)學(xué)史揭示數(shù)學(xué)的社會(huì)價(jià)值與意義，二者居于社會(huì)發(fā)展的演進(jìn)，凸顯跨學(xué)科的文化交融．

（4）“審美娛樂(lè)”包含數(shù)學(xué)美與趣味數(shù)學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)美橫跨“文化中的數(shù)學(xué)”與“數(shù)學(xué)中的文化”，對(duì)稱(chēng)美、奇異美、簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美是數(shù)學(xué)審美的內(nèi)隱模式，而借助數(shù)學(xué)表現(xiàn)出審美的外顯模式．趣味數(shù)學(xué)不僅展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的妙趣橫生，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，助力智力培育，而且趣味數(shù)學(xué)中歷史與文化相映成趣，令人回味無(wú)窮．兩者均是數(shù)學(xué)文化相當(dāng)重要的組成部分．

（5）“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵分析框架既扎根于數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值與高中新課程標(biāo)準(zhǔn)的新要求，又為數(shù)學(xué)文化融入課程、落實(shí)到教學(xué)提供指導(dǎo)，具有“上通理論、下達(dá)實(shí)踐”的特點(diǎn)，具有一定的客觀(guān)合理性．

基于如上結(jié)論，對(duì)“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵分析框架做進(jìn)一步修正（如圖2）．

圖2 修正的“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵分析框架

4 課例分析

4.1 課例選取

HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，是指借鑒數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展、再現(xiàn)歷史上的數(shù)學(xué)思想方法、采用適當(dāng)?shù)姆绞竭\(yùn)用數(shù)學(xué)史料以提升教學(xué)質(zhì)量、豐富教育價(jià)值的一種教學(xué)方式．其所形成的教學(xué)課例簡(jiǎn)稱(chēng)為HPM課例．

依據(jù)HPM課例研究中史料的適切性、應(yīng)用方式的多元性等要求，以數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的4種運(yùn)用方式與5項(xiàng)融入原則作為高中HPM課例的篩選條件[9]，附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式等4種方式分別以1、2、3和4來(lái)編碼，科學(xué)性、可學(xué)性、有效性、趣味性和人文性等5項(xiàng)原則分別以a、b、c、d和e來(lái)編碼．經(jīng)過(guò)雙人編碼、研討與校對(duì)，篩選出2012—2018年間發(fā)表的具有代表性的20個(gè)高中HPM課例[14-33]作為研究對(duì)象（詳見(jiàn)表3）．

表3 20個(gè)高中HPM課例的基本信息

續(xù)表3 20個(gè)高中HPM課例的基本信息

按照《標(biāo)準(zhǔn)》分類(lèi)，20個(gè)課例的課題分屬函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、微積分等4個(gè)領(lǐng)域．其中，19個(gè)課例屬于新授課，1個(gè)課例是復(fù)習(xí)課．絕大多數(shù)課例是由HPM學(xué)習(xí)共同體（由高校HPM研究者和中學(xué)一線(xiàn)數(shù)學(xué)教師組成）依照“選題與準(zhǔn)備”“研討與設(shè)計(jì)”“實(shí)施與反饋”“整理與寫(xiě)作”4個(gè)環(huán)節(jié)合作開(kāi)發(fā)．

4.2 課例中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵

4.2.1 知識(shí)源流

20個(gè)HPM課例所涉及的“知識(shí)源流”維度大致可分成人物與事件、概念與術(shù)語(yǔ)、命題與證明、問(wèn)題與求解等4個(gè)子維度．圖3給出了“知識(shí)源流”各子維度的頻數(shù)分布．

圖3 “知識(shí)源流”各子維度的頻數(shù)分布

課例“函數(shù)的概念”[14]參照歷史，再現(xiàn)了函數(shù)概念從“解析式”定義—“變量依賴(lài)關(guān)系”定義—“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”定義—“集合對(duì)應(yīng)關(guān)系”定義的演進(jìn)過(guò)程．課例“對(duì)數(shù)的概念”[15]涉及蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J. Napier，1550—1617）發(fā)明對(duì)數(shù)的事件，還運(yùn)用了古巴比倫泥版上的利息問(wèn)題作為應(yīng)用題．課例“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”[27]引入20世紀(jì)中葉西方教科書(shū)中的最值法和三角形面積法．在課例“橢圓的定義”[28]中，學(xué)生通過(guò)探究，經(jīng)歷了從橢圓截面定義到課本上的動(dòng)點(diǎn)軌跡定義（第一定義）的過(guò)程．課例“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”[30]向?qū)W生呈現(xiàn)了16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家邦貝利（R. Bombelli，1526—1572）在求解三次方程時(shí)所遇到的“矛盾”．

4.2.2 學(xué)科聯(lián)系

課例中，數(shù)學(xué)與文學(xué)、物理學(xué)、建筑學(xué)、天文學(xué)等學(xué)科具有“學(xué)科聯(lián)系”．

課例“數(shù)列的概念”[17]以蘇軾《水調(diào)歌頭?明月幾時(shí)有》中的經(jīng)典名句“人有悲歡離合，月有陰晴圓缺”，指出“月相變化”中蘊(yùn)含的數(shù)列規(guī)律．在課例“任意角”[19]中，教師引入白居易“離離原上草，一歲一枯榮，野火燒不盡，春風(fēng)吹又生”的詩(shī)句來(lái)激發(fā)學(xué)生思考生活中常見(jiàn)的周期現(xiàn)象．可見(jiàn)，數(shù)學(xué)與文學(xué)相互滲透，這些古詩(shī)詞的意境蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)抽象思維與文學(xué)形象思維之間的奇妙聯(lián)系，彰顯了數(shù)學(xué)的文化之魅．

課例“導(dǎo)數(shù)幾何意義”[32]借鑒17世紀(jì)促使數(shù)學(xué)家研究切線(xiàn)的3類(lèi)問(wèn)題，設(shè)計(jì)“光在曲面上的反射”“曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度方向”“拱橋的坡度”等問(wèn)題情境，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理學(xué)、建筑學(xué)等學(xué)科息息相關(guān)．課例“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”[33]中，教師引入“費(fèi)馬原理（最小光程原理）”，通過(guò)導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)出“折射定律”，揭示了數(shù)學(xué)與物理學(xué)的密切關(guān)系．

課例“數(shù)列概念”[17]通過(guò)意大利天文學(xué)家皮亞齊（G. Piazzi，1746—1826）發(fā)現(xiàn)谷神星的故事，體會(huì)數(shù)列推動(dòng)天文學(xué)的發(fā)展．課例“正弦定理”[22]以在新知引入環(huán)節(jié)介紹10世紀(jì)阿拉伯天文學(xué)家阿爾?庫(kù)希（Al-Kuhi，約940—1000）的流星測(cè)量方案，激發(fā)學(xué)生探究流星高度的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，引入正弦定理；在知識(shí)應(yīng)用環(huán)節(jié)，回顧、解決流星測(cè)量問(wèn)題，展現(xiàn)數(shù)學(xué)與天文學(xué)之間的緊密聯(lián)系．

4.2.3 社會(huì)角色

課例“數(shù)列概念”[17]通過(guò)兩河流域泥版上的月相表，說(shuō)明數(shù)學(xué)在古人的生產(chǎn)、生活中的巨大作用：抬頭望月，日期可計(jì)，春耕秋收，井然有序．在課例“任意角”[19]的新知探究部分，教師引入古代計(jì)時(shí)儀器日晷與《周髀算經(jīng)》中測(cè)量四季的方法，引導(dǎo)學(xué)生感受靜態(tài)角與動(dòng)態(tài)角在確定時(shí)間上的不同作用．

課例“拋物線(xiàn)的概念”[29]以古希臘人利用凹面鏡原理采集火種的故事，說(shuō)明拋物線(xiàn)的社會(huì)角色．在課例“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”[33]中，教師借鑒歷史編制導(dǎo)數(shù)在生產(chǎn)設(shè)計(jì)、交通運(yùn)輸、通訊網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域的應(yīng)用問(wèn)題，體會(huì)微積分在現(xiàn)實(shí)生活中的重要應(yīng)用．

4.2.4 審美娛樂(lè)

基于趣味數(shù)學(xué)方面，課例“數(shù)列概念”[17]將歷史上著名的“約瑟夫問(wèn)題”改編成“找位置”趣味游戲，讓學(xué)生在游戲中體會(huì)數(shù)列的“序”的本質(zhì)特征；課例“遞推數(shù)列”[18]則利用“漢諾塔游戲”來(lái)引出遞推數(shù)列概念，寓理于“做”．可見(jiàn)，歷史上的趣味數(shù)學(xué)問(wèn)題可以在高中數(shù)學(xué)課堂上大放光彩．

4.2.5 多元文化

課例“函數(shù)的概念”[14]展示了西方數(shù)學(xué)家歐拉（L. Euler，1707—1783）、德摩根（A. De Morgan，1806—1871）、狄利克雷（L. Dirichlet，1805—1859）對(duì)函數(shù)概念的界定以及中國(guó)數(shù)學(xué)家李善蘭（1811—1882）的函數(shù)譯名．在課例“正弦定理”[22]中，學(xué)生既欣賞韋達(dá)外接圓方法的精彩，也領(lǐng)略中國(guó)數(shù)學(xué)家梅文鼎（1633—1721）同徑法的美妙．課例“二項(xiàng)式定理”[31]通過(guò)微視頻呈現(xiàn)二項(xiàng)式定理的相關(guān)歷史，東方的“賈憲三角”和西方的“帕斯卡三角”交相輝映．在課例“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”[32]中，教師以圓為載體，借助劉徽的“割圓術(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從古希臘歐幾里得（Euclid，約公元前325—公元前265）、阿波羅尼斯（Apollonius，公元前3世紀(jì)）等數(shù)學(xué)家對(duì)切線(xiàn)的靜態(tài)定義，逐漸過(guò)渡到17世紀(jì)費(fèi)馬（P. de Fermat，1601—1665）、笛卡兒（R. Descartes，1596—1690）等數(shù)學(xué)家對(duì)切線(xiàn)的動(dòng)態(tài)定義，進(jìn)而探究切線(xiàn)與導(dǎo)數(shù)幾何意義之間的聯(lián)系，感悟以直代曲的數(shù)學(xué)思想方法．

在上述課例中，仿佛東西方數(shù)學(xué)家穿越時(shí)空，齊聚今日課堂，探討數(shù)學(xué)概念的起源和定義、數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和證明，體現(xiàn)了精彩紛呈的多元文化．

5 討論

表4給出了20個(gè)HPM課例[14–33]在數(shù)學(xué)文化五維度上的分布情況．

表4 數(shù)學(xué)文化各維度的課例分布情況

由表4可知，20個(gè)HPM課例中在數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的5個(gè)維度上分布不均衡．?dāng)?shù)學(xué)文化內(nèi)涵各維度及其課例個(gè)數(shù)為：“知識(shí)源流”20個(gè)、“多元文化”15個(gè)、“社會(huì)角色”9個(gè)、“學(xué)科聯(lián)系”7個(gè)、“審美娛樂(lè)”5個(gè)．

首先，HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)在歷史與現(xiàn)實(shí)之間架起一座橋梁，借鑒知識(shí)的歷史發(fā)展規(guī)律，實(shí)現(xiàn)歷史順序、邏輯順序和心理順序的統(tǒng)一，突出HPM教學(xué)的基本特征．因此，所有HPM課例均體現(xiàn)了“知識(shí)源流”維度．其次，數(shù)學(xué)文化是不同時(shí)空下古今中外的數(shù)學(xué)交匯和文化碰撞，不同文化背景的數(shù)學(xué)家皆可能做出各自的貢獻(xiàn)（如符號(hào)的創(chuàng)造、公式的推導(dǎo)、定理的證明等）．因此，當(dāng)教師將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)時(shí)常常會(huì)涉及“多元文化”維度，這是該維度出現(xiàn)的頻數(shù)僅次于“知識(shí)源流”維度頻數(shù)的主要原因．此外，含有“社會(huì)角色”“學(xué)科聯(lián)系”“審美娛樂(lè)”維度的課例個(gè)數(shù)呈現(xiàn)遞減趨勢(shì)，可見(jiàn)這3個(gè)維度的運(yùn)用情況不夠理想，有待繼續(xù)加強(qiáng)．

盡管部分課例采用了HPM視角，但其“文化味”仍顯不足．究其原因，主要有3個(gè)因素制約了數(shù)學(xué)文化的多元運(yùn)用．

（1）教師在數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵理解上的局限性．?dāng)?shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，在一定程度上，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)可以視為數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)的一種途徑．但HPM專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)共同體對(duì)于“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”的內(nèi)涵并無(wú)清晰的界定與分類(lèi)，因而在選擇和運(yùn)用史料時(shí)忽視了某些維度．

（2）教師可支配的數(shù)學(xué)文化素材比較單一．以“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”[30]為例，通過(guò)了解數(shù)學(xué)家（如萊布尼茲、愛(ài)因斯坦）對(duì)虛數(shù)的評(píng)價(jià)，點(diǎn)明發(fā)現(xiàn)虛數(shù)的重要性．除此之外，歷史上還有一些文學(xué)名著，如扎米亞金（Y. Zamyatin，1884—1937）在《我們》中、穆西爾（R. Musil，1880—1942）在《小特爾萊斯》中用虛數(shù)來(lái)比喻人性中的非理性一面，表明作家對(duì)虛數(shù)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)；美國(guó)電氣工程師斯坦梅茨（C. P. Steinmetz，1865—1923）將虛數(shù)用于電路計(jì)算，體現(xiàn)了虛數(shù)的多元價(jià)值．這樣，“學(xué)科聯(lián)系”維度便得到了充分展現(xiàn)．

（3）數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)實(shí)條件的制約．許多HPM課例是在常規(guī)課堂上實(shí)施的，教師既要完成一定的教學(xué)目標(biāo)，保證高考制度下的應(yīng)用練習(xí)時(shí)間，又要兼顧班級(jí)的教學(xué)進(jìn)度．因此，在實(shí)際教學(xué)中，不能苛求一節(jié)課體現(xiàn)出數(shù)學(xué)文化的所有維度，其所承載的歷史素材宜少不宜多、宜精不宜雜．

6 結(jié)語(yǔ)

隨著《標(biāo)準(zhǔn)》中“數(shù)學(xué)文化”概念的明確提出，高中數(shù)學(xué)文化研究逐漸成為數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的熱點(diǎn)話(huà)題．張奠宙先生在談及“如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中呈現(xiàn)與揭示數(shù)學(xué)文化”時(shí)，曾指出：如果數(shù)學(xué)課堂能夠有廣博的文化知識(shí)滋養(yǎng)，充滿(mǎn)高雅的文化氛圍，彌漫著優(yōu)秀的文化傳統(tǒng)，數(shù)學(xué)教學(xué)可以說(shuō)達(dá)到最高境界了[34]．

綜上，在分析的HPM課例中，“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵的5個(gè)維度——知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、多元文化和審美娛樂(lè)均有體現(xiàn)，基本檢驗(yàn)了“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵分析框架的客觀(guān)合理性．然而，5個(gè)維度的分布不均，值得后續(xù)深入研究與改善．要在高中數(shù)學(xué)常態(tài)課中更加全面地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的5個(gè)維度，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)教學(xué)的人文氛圍，HPM學(xué)習(xí)共同體需要做好如下4個(gè)方面的研究工作．

（1）注重歷史學(xué)習(xí)．HPM教學(xué)的“文化之魅”始于數(shù)學(xué)史研究，數(shù)學(xué)史蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)素材和思想養(yǎng)料．所謂有源之水常新，有根之木常青，加強(qiáng)教育取向的數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)是未來(lái)HPM課例中數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵多元維度開(kāi)發(fā)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)．

（2）夯實(shí)理論基礎(chǔ)．HPM研究基于“自下而上”的研究取徑，基于教學(xué)實(shí)踐的HPM課例檢驗(yàn)了“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵分析框架的客觀(guān)合理性．同時(shí)，該分析框架也可以反過(guò)來(lái)指導(dǎo)HPM教學(xué)實(shí)踐．未來(lái)，需要基于更多的一線(xiàn)教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，不斷對(duì)“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵開(kāi)展更加深刻地研究．

（3）立足教育現(xiàn)實(shí)．?dāng)?shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)，其最終目的是促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，為未來(lái)發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)．可見(jiàn)，HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)不可能脫離教育現(xiàn)實(shí)來(lái)進(jìn)行，任何一位一線(xiàn)教師都不可能僅為文化而文化，為歷史而歷史．因此，數(shù)學(xué)教師可以根據(jù)實(shí)際學(xué)情，借助“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵分析框架來(lái)創(chuàng)設(shè)蘊(yùn)含數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)情境，編制數(shù)學(xué)文化的相關(guān)習(xí)題．同時(shí)，隨著“互聯(lián)網(wǎng)+教育”的發(fā)展，可以基于該分析框架來(lái)制作短小精煉、生動(dòng)有趣的HPM微視頻，助力一線(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)．

（4）加強(qiáng)實(shí)證研究．“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵分析框架的實(shí)證研究有助于在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科“立德樹(shù)人”根本任務(wù)．未來(lái)，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，需要進(jìn)一步提升質(zhì)性研究與量化研究相結(jié)合的實(shí)證研究，更加深刻地揭示數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值．

美國(guó)學(xué)者Bidwell曾說(shuō)過(guò)：在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，可以將學(xué)生從數(shù)學(xué)的孤島上挽救出來(lái)，并將他們安置于一個(gè)生機(jī)勃勃的新大陸上，這個(gè)新大陸包含了開(kāi)放的、生動(dòng)活潑的、充滿(mǎn)人情味的并且總是饒有趣味的數(shù)學(xué)[35]．隨著HPM理論研究與教學(xué)實(shí)踐的深入，充滿(mǎn)文化芬芳的數(shù)學(xué)課堂必將彰顯“立德樹(shù)人”的教育價(jià)值，煥發(fā)更加強(qiáng)大的生命力．

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An Empirical Study of the Meaning of Mathematical Culture Based on the History of Mathematics

YU Qing-chun1, WANG Xiao-qin2

(1. School of Mathematical Science, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

Employing the Delphi method and content analysis, this study carried out qualitative research on demonstrating and revising the analytical framework of mathematical culture based on the history of mathematics and analyzed 20 lessons using history of mathematics (HPM) lessons in senior high school from 2012 to 2018. We found that the meaning of mathematical culture based on the history of mathematics can be divided into five dimensions: knowledge of origin, connection of disciplines, role in society, entertainment of aesthetics, and multiculturalism. However, these five dimensions are unevenly applied in teaching practice. To reveal the value of mathematics culture in teaching, teachers need to pay attention to the history of mathematics, consolidate their theoretical basis, teach based on educational reality, and promote empirical research.

Delphi method; text analysis; history of mathematics; mathematical culture; HPM lesson

G40–055

A

1004–9894（2020）03–0068–07

2020–01–20

上海高校“立德樹(shù)人”人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項(xiàng)目——數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的研究（A8）

余慶純（1993—），女，廣東潮州人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究．

余慶純，汪曉勤．基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵實(shí)證研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（3）：68-74．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳雋]