用問題提出和問題解決測試小學生對平均數的理解

宋乃慶，胡 睿，蔡金法

用問題提出和問題解決測試小學生對平均數的理解

宋乃慶1，2，胡 睿1，2，蔡金法1，3

（1．西南大學 數學與統計學院，重慶 400715；2．中國基礎教育質量監測中心協同創新中心西南大學分中心，重慶 400715；3．美國特拉華大學 數學系，紐瓦克 19716）

平均數是小學階段重要的統計概念，探究小學生關于平均數概念的理解認知情況，有利于教師進行針對性教學，為后續開展統計教學打下基礎．而問題提出不僅作為可以激發學生創造力的認知活動，問題提出與問題解決作為教學目標在各國課程標準中逐漸引起重視，而通過對學生問題提出與問題解決表現的評估研究，有助于深入考察其概念理解情況以及思維過程．從重慶市及四川省的4個區縣選取8所城市與農村學校，共計321名具有廣泛代表性的五年級學生，通過相同情境不同要求的4對任務，從問題提出合理性、擴展性、內容性質以及問題解決準確性、解題策略、表征模式等方面對學生表現進行分析，并進一步探究其問題提出與問題解決表現之間的內在聯系．研究表明：小學生在平均數任務情境下能夠提出較多的合理數學問題，隨著要求難度的提升，學生所提數學問題更加新穎和復雜；小學生對于平均數算術概念性理解的掌握優于統計概念性理解；城市學生相較農村學生對于平均數的概念理解掌握更好；小學生在平均數任務情境下，問題提出與問題解決表現具有一定的關聯性．

問題提出；問題解決；平均數；學生認知；小學生

1 問題提出

隨著科學技術的進步和大數據時代的發展，統計的思想和方法己經成為公民生產生活所必備的基本常識[1]．在義務教育階段強調發展學生數據分析觀念，強化統計教育，合理進行統計教學正成為各國課程改革關注的熱點課題[2]．平均數作為重要統計概念，在小學階段中所教授學習的一般是指算術平均數，也就是將一組數據相加求和，再通過除以這組數據的個數所得的商．研究表明算術平均數的概念包含算術程序性理解、算術概念性理解以及統計概念性理解等3種類型[3]，不僅具有類似于除法中“平均分”的計算過程，也需要靈活使用這種算法解決復雜的平均數任務情境，同時作為統計量能夠刻畫數據的集中趨勢，直觀簡明地表示數據的一般情況，也可利用平均數進行不同組別數據地比較．關于學生對平均數的概念理解情況，國際上已有一些研究對其進行探討，如對于其算術概念，Cai發現學生往往知道“相加并除”的平均數算法，但是其中只有一半的學生能夠運用這個算法解決問題任務[4]；而對于其統計概念，Watson等通過訪談分析發現，能夠運用平均數比較圖表中的數據集為學生平均數概念理解的較高水平[5]．國外研究表明，由于平均數概念的復雜性，學生并不能對其進行完全的理解．對學生平均數概念理解情況進行研究，區分學生在不同題目類型的表現差異，為教師準確認識學生認知情況，進行針對性教學改進，推動課堂教學提供參考．

數學問題提出對于學生來說是指：（1）學生能夠根據已有情境提出包括數學表達式和數學圖表的數學問題；（2）學生能添加合理信息重構造原有問題[6]．問題提出不僅作為學生發揮創造性思維的認知活動[7]，作為教學目標也逐漸走進國內外數學教育界的視野，各國課標對其都有相應的具體要求[8–10]，教師在實際課堂教學中將問題提出作為教學手段融入能夠促進學生的概念理解[11–12]，同時作為評估手段，也能夠通過提出問題的類型有效評估學生與教師的概念理解情況[13–14]．而數學問題解決不僅僅是解決數學問題的結果，整個數學學習與解題過程，都是在解決問題[15]．策略是一種達到目標的方法或計劃，數學解題策略是為了解決數學問題的解題步驟與計劃，問題解決表征模式是指解決數學問題時所采用的方法步驟的外在表征形式，認知心理學認為如解題策略和表征模式之類的認知方面在問題解決中是非常重要的[16]，對于其研究能夠有效分析學生的思維過程與特質[17]．因此對于學生問題提出與問題解決的表現以及兩者間的內在聯系的研究，有助于深入考察學生學習理解及其思維過程．同時，問題提出與問題解決之間的關系也是學界研究的熱點，對于其關系也尚無定論，需結合任務情境具體分析[18–19]．

鑒于平均數概念的復雜性，過往研究盡管以國外學生作為研究對象，涉及內容包括其對于平均數各種概念類型的探究．但目前相對缺乏對于國內學生理解平均數概念情況的研究，更缺乏結合問題提出與問題解決手段考察學生算術平均數概念理解的研究，對于問題提出與問題解決之間的關系也缺乏在相同情境下的探討．因此，研究旨在通過使用相同的4個任務情境，探究學生在問題提出與問題解決測試中對于算術平均數的理解狀況，以及不同區域學生的理解是否存在差異，并且在含有算術平均數的任務情境下學生的問題提出表現與問題解決表現存在怎樣的關系．

2 研究設計

2.1 研究對象

選取重慶市及四川省的4個區縣，在每個區縣各抽取2所樣本學校（城市、鄉村各1所），共8所小學校中選取321名五年級學生先后進行測試卷一、二（即“測試卷一：小學生平均數‘問題提出’任務測試卷”和“測試卷二：小學生平均數‘問題解決’任務測試卷”）的調查研究．將在規定時間作答并提交兩份測試卷的視為有效數據，回收有效數據301人次，測試卷有效率93.8%．其中，城市小學161人次（53.8%），農村小學140人次（46.2%）；男生135人次（44.9%），女生166人次（55.1%）．

2.2 測試工具

關于“問題解決”測試題的來源方面．從教師試測學生在平均數知識上的解題策略以及表征模式的研究中[3]選取4道復雜程度相當的問題，這些題目歷經多次學生測試與長期面向學生教學，問題本身可靠性較高．根據平均數的算術概念性理解和統計概念性理解對題目進行分類，具體內容見表1．

表1 “問題解決任務”測試卷題目分布結構

關于“問題提出”測試題的來源方面．將問題解決任務中的“問題”部分去掉，并要求學生根據所給情境分別提出3個不同層次的問題：一個簡單的問題（P1）、一個中等難度的問題（P2）和一個較難的問題（P3）．目的在于一方面可根據學生對所提問題難度的劃分更好地了解其數學認知；另一方面，在時間有限的情況下，能使學生集中精力提出更高認知要求的數學問題．

2.3 數據編碼與分析

對于學生問題提出的表現，參考以往相關研究的編碼框架[3，18]，先從所提問題的“合理性”進行編碼，再對合理的數學問題從“擴展性”和“內容性質”兩方面進行編碼，考察學生能否提出數學問題、能否提出更加具有新意的問題以及具體能夠提出怎樣情境的問題．對于學生問題解決的表現，將從問題解答的“準確性”“解題策略”“表征模式”3個方面進行編碼．不僅考察學生的概念掌握情況，也對其認知過程進行探究．對學生所使用的具體策略以及表征模式均可以反映學生處理問題的過程以及數學思維與推理的過程．這樣的認知分析在以往研究中已被證明可以對學生進行有效分析[17]．同時，另請一位熟悉問題提出與問題解決的數學教育研究人員進行核查．在每個班級的樣本中各隨機抽取10%樣本數據進行獨立編碼分析，兩位研究者在“問題提出卷”與“問題解決卷”的編碼一致性均超過85%，具有良好的信度．

學生所提問題的合理性是指學生是否能夠根據題目所給出的情境，提出合理的、可解的數學問題，而非合理性問題指對于給定條件的，隨意添加數學關系的問題或沒有意義的問題．問題的擴展性方面，擴展性問題是指不局限于已有題目的給定條件，添加或補充合理信息的數學問題；而非擴展性問題，即根據題目給定條件提出的數學問題．問題的內容性質方面，參考先前解決一般模式問題與解決具體數學模式問題的研究[20–21]，每個問題按照其內容性質進行劃分，共分為7種類型的問題（如表2所示）．其中前3個類型“求和”“比較”“分配”是與算術平均數無關的問題；后4個類型中，“平均”類型問題涉及平均數算術程序性理解以及算術概念性理解的題目，“表征”“最值”“判斷”類型問題涉及平均數統計概念性理解．需要注意的是，具體的內容性質分類依題目類型不同而變化．

對于學生問題解決的表現，問題解決的準確性采用定量評分方法進行分析．借用QUASAR項目上計算得分的方法，每道題分為5個得分等級（0—4）．一般來講0分表示完全不理解或不作答；1分是學生的解釋和解答過程只能表示其有限理解的程度；2分是學生的解釋和解答過程只能表示其部分理解的程度；3分代表學生的解釋和解答過程基本完整，但存在一些細微的錯誤、遺漏或含糊不清；4分表明學生的解釋和解答過程能夠展示出完整且正確的理解程度[22]．在問題解決的解題策略方面，結合過往對于學生平均數算術概念性理解以及統計概念性理解的解題策略[21，23]，與學生在測試中不同類型題目的實際表現，將其解題策略分為如表3所示的形式．在問題解決的表征模式方面，學生一般的常采用4種問題表征模式[4]，分別是算術表征，即運用算術式子進行解答；代數表征，即運用代數式子，比如方程來進行解答；言辭表達，即直接使用文字來表示解題過程；直觀圖示，即借助示意圖或畫圖形式來進行解答．因為這里沒有學生使用直觀圖示的表征模式，所以研究中的問題表征模式以上述前3種進行分類編碼．

表2 問題提出內容性質編碼

表3 問題解決策略編碼

3 研究結果

3.1 問題提出表現的分析

3.1.1 問題提出合理性的分析

總體而言，學生在第4題“幼崽問題”情境中，無論是提出合理性問題的平均個數（2.53），還是在各個難度上提出合理性問題的占比（90.7%、88.4%、74.1%，見表4），表現都是最好．而學生在第3題“書價問題”情境中，無論是提出合理性問題的平均個數（1.25），還是在各個難度上提出合理性問題的占比（60.8%、32.6%、30.9%），表現都是最差的．在第1、2題上人均提出兩個以上的合理問題，表現較好．此外，隨著問題提出難度要求的提升，學生能夠提出合理性問題的占比隨之減少．就不同區域學生來看，城市學生所提合理性問題的總數量（8.32）稍多于農村學生（7.96），但并無顯著性差異．除第1題外，城市學生在其它3個情境中所提的合理性問題均比農村學生多．就差異性而言，城市學生（2.64）與農村學生（2.40）在第4題提出合理性問題數具有顯著差異（=2.549，<0.01）

究其原因，一是題目背景信息與給定條件的多寡對學生產生了影響，第4題題目情境較為豐富，充裕的題目給定條件使學生能夠提出大量合理性問題．相對來說第3題只有一個給定條件，需要學生自己添加合理信息提出問題；二是對于平均數概念理解的欠缺對學生造成了影響，第3題需要學生理解書本平均價格是代表這10本書的一個數據，不一定是每一本書的價格就是平均價格，只有理解這一平均數的統計概念，在此基礎上才能提出合理的問題．相當一部分學生提出把平均價格當成是每本書價格的錯誤問題．

表4 學生所提問題表現的百分比分布情況（%）

3.1.2 問題提出擴展性及內容性質的分析

如表4所示，學生所提的合理性問題中絕大部分是非擴展性問題，均占合理問題3/4以上，其中在第2題與第4題上占比高達95%以上．此外，隨著難度要求的提升，學生提出擴展性問題的比例在不斷上升，說明學生在被要求提出難度更高的問題時，學生會更有意識地添加合理信息配合提出更具新穎性的問題．對于第2題和第4題，學生提出的擴展性問題寥寥無幾的原因，在于兩道題所給出的條件，已經足以使學生不用補充條件就可以提出足夠復雜的問題．比如第2題中，學生在較難程度（P3）提出的非擴展性問題，提出“平均”類型問題占比相對最高，學生不用補充條件也可以提出例如“去掉最高分和最低分，小明的平均分為多少分”，這一涉及平均數算術概念性理解并且相對復雜的問題．

不同測試題上所提問題的內容性質分布情況各有不同，且都具有統計意義上的顯著差異（第1題2=10.09，<0.05；第2題2=13.34，<0.05；第3題2=12.88，<0.05；2=18.05，<0.01）．但在要求提出“較難”（P3）問題上，除第1題外，學生提出平均數相關問題占比更高（在合理問題中占比最低的第4題為62.3%），說明學生在被要求提出難度更深的問題時，認為平均數相關數學問題包含數量關系更加復雜．

值得注意的是，在考察學生平均數算術概念性理解題目中，雖然學生在第1題只有很少學生能夠提出涉及算術概念性理解的問題（城市學生3.7%，農村學生2.6%），但在第2題中，依然有人在原有任務情境基礎上，開辟新的視角提出涉及統計概念性理解的問題，如根據題目給出的平均分最高分最低分等信息，來求問學生各科成績存在的可能性的問題，蘊含平均數表征一組數據的統計思想的“表征”類型問題和意圖根據題目中所給出的小明的最高分最低分平均分，來判斷小明整體考試所處的水平“判斷”類型問題．

3.2 問題解決表現的分析

3.2.1問題解決準確性的分析

根據問題解決準確性的評分，每道題3分以上為基本理解，每道題1分以下為基本不理解．結合表7分析，有85.4%的學生在平均數算術概念性理解的兩道題目上得分達到或超過6分，而在平均數統計概念性理解的兩道題目上只有25.2%的學生達到或超過6分．有2.0%的學生在平均數算術概念性理解的兩道題目上得分小于等于2分，而在平均數統計概念性理解的兩道題目上卻有35.6%的學生小于等于2分．也就是說，學生在平均數算術概念性理解上的掌握明顯好過其在平均數統計概念性理解上的掌握（如圖1）．

圖1 學生在兩類題型中≥6分和≤2分的百分比（%）

從不同區域學生的表現來看．相對于平均數統計概念性理解上的表現，城鄉學生在平均數算術概念性理解上的表現更好，但整體而言城市學生的表現均明顯優于農村學生．對每一道題進行分析發現，城市學生在每一道題上的平均分均高于農村學生，且在統計學意義上也都顯著優于農村學生．

3.2.2 問題解決策略的分析

根據表5，總體來看，95.7%的學生在平均數算術概念性理解的題目（第1、2題）中使用平均數公式，解題策略極其類似；第3題學生更喜歡使用“均分配對”（30.6%）與“根據總量試誤”（33.6%）的解題策略，第4題只有約一半的學生使用“平均值判斷”（49.8%）的正確策略．表明學生對于平均數概念性理解題目的解題模式更加熟悉，而對于統計概念性題目的解題策略則仍在摸索．從不同區域學生來看，城鄉學生在第1、2題上的策略選擇也類似，但在第3、4題上解題策略的選擇和傾向上具有顯著差異（第3題2=13.174，<0.01；第4題=2.31，<0.05），且在第4題上城市學生更能夠選擇正確的解題策略．

表5 學生在第1和第2題使用各解題策略的百分比（%）

對于第4題而言，由于“平均值判斷”是該題的正確解題策略，也就是說近一半的學生在第4題使用了錯誤的策略或者沒有作答，即學生對于平均數均衡穩定的性質以及經常作為典型值對多組數據進行比較的概念不能很好地理解．即便是采用了正確的解題策略，學生第4題的平均分也僅為2.72，依然遜于第1題（3.81）與第2題（3.81），其中有學生在求解貓和倉鼠總量的計算錯誤，也有作商得出的值估算錯誤的原因．綜合起來看，不能理解平均數作為典型值對多組數據進行比較的概念而選擇錯誤策略和正確策略計算失誤是造成第4題平均分最低的主要原因．

3.2.3 問題解決表征模式的分析

在表征模式方面，總體而言，盡管學生在不同類型題目中選擇的表征模式有所不同，但學生在平均數概念的題目中更擅長使用算術表征，例如近99%的學生在第1、2題用了算術表征，且一半以上的學生在第3、4題（均為平均數統計概念性理解的題目）上也選擇了該表征模式（55.4%、72.0%）．從不同區域學生來看，城鄉學生在第1、2、4題上的表征選擇類似，且都擅長使用算術表征，但在第3題的表征模式選擇上具有顯著差異（2=14.197，<0.01）．

學生在考察平均數算術概念性理解的第1、2題和考察平均數統計概念性理解的第3、4題的表征模式選擇上具有明顯的差異，根據研究中收集的數據分析，有兩點原因造成了這樣的現象．一是選擇言辭表達是學生無法使用完整算式解答問題或者使用錯誤解題策略的原因，而非對于平均數兩種概念類型的求解表征需求不同，這點可以從第4題，選擇言辭表達的學生平均分（0.71）顯著低于選擇算術表達的學生平均分（2.06）．二是可能跟題目的形式有關，第3題是4道題目中唯一過程開放的問題，學生需要輔以文字來添加說明表達解題的思路．因此研究只能發現學生在解決兩類問題上在表征模式的選擇上有明顯差異，不能說明不同類型問題所需要的表征模式不同．

3.3 問題提出表現與問題解決表現的關聯分析

根據表6分析，從總體來看，總成績前10%的學生（=30）人均提出9.62個合理性問題，總成績后10%的學生（=30）只提出6.53個合理性問題，兩者間問題提出能力具有顯著的差異．而具體到每道題平均提出合理性問題個數的情況來看，前10%的學生在4道題上的表現優于全體學生、后10%的學生，也具有顯著差異．此外，研究者利用SPSS對前、后10%的學生的提出問題的合理性個數與解決問題的準確性數據做Pearson相關性分析，相關系數為0.530**，在<0.01上呈顯著相關性，也就說明學生問題提出能力與其問題解決能力是正相關的，換言之，問題解決能力較高的學生，也能提出更多合理性的問題．

表6 各成績階段學生提出合理性問題平均個數

注：在標**與*的題上，總成績靠前和靠后的學生平均分的差別分別在<0.01與<0.05是顯著的．

由表7看出，提出統計概念性問題的學生與未提出統計概念性問題的學生在第3題關于解題策略的選擇在分布上具有統計意義上的顯著差異（2=171.78，<0.01）．具體而言，能夠提出統計概念性理解問題的學生更傾向于選擇“均分配對”的策略（40.8%），而未能提出統計概念性理解問題的學生更青睞于選擇“根據總量試誤”的策略（34.9%）．

表7 提出與未提出統計概念性理解問題學生在第3題使用各解題策略的百分比（%）

由表8看出，提出與未提出統計概念性理解問題的學生，都更傾向于選擇“算術表征”的表征模式．只是在選擇的學生百分比上，能夠提出統計概念性理解問題的學生比率（63.2%）要多于未能提出統計概念性理解問題的學生比率（53.9%），兩者在統計意義上也具有顯著差異（=2.09，<0.05）．選擇言辭表達的學生中，能夠提出統計概念性理解問題的（32.6%）要少于未能提出統計概念性理解問題的學生（43.2%）．

表8 提出與未提出統計概念性理解問題學生在第3題使用各表征模式的百分比（%）

4 研究結論及討論

4.1 對于平均數算術概念性理解的掌握優于統計概念性理解

總體而言，學生在算術平均數題目情境下，能夠提出較多的合理性問題，在第1、2、4題中人均都能提出兩個以上的合理性問題．此外，盡管學生更傾向于提出非擴展性問題與非平均數相關問題，但隨著難度要求的提升，學生在“較難問題”（P3）上所提擴展性問題與平均數相關問題占比更高．表明學生能夠有意識添加合理信息提出更新穎的問題，同時平均數相關問題是學生認為涉及數量關系更復雜的數學問題．

就平均數的算術概念性理解和統計概念性理解而言，學生對于平均數算術概念性理解的掌握明顯優于統計概念性理解．問題提出方面，學生在第3題，考察利用平均數描述一組數據的題目情境下，人均只能提出1.25個問題，固然有題目背景信息多寡的因素，但學生不理解平均價格是代表10本書價格的一個典型值占據相當一部分，提出類似于“100元可以買多少本書”“50本書的價格是多少”，這樣把平均價格當成是每本書價格的錯誤問題．同時盡管學生在“較難問題”（P3）提出平均數相關問題所占比重更高，但多是平均數算術理解相關的“平均”類型問題．在問題解決方面，這樣的差異就更加明顯，學生在考察算術概念性理解的第1、2題的準確性要明顯優于考察統計概念性理解的第3、4題，而學生在第3、4題的表征模式上，選擇算術表征的比重相對第1、2題也大幅減少，即能夠使用完整算式表達這兩道題目的學生相對前兩題大幅減少．

這樣的結論與以往研究相類似[31]，平均數統計概念的理解應用對于學生來說更有難度．但目前課程標準明確要求學生能夠理解平均數的實際意義，進而使用平均數解決現實問題．學生在第4題中已經有使用最值、眾數等統計量的傾向，因此教師在教授平均數概念時，不僅需要強調平均數作為典型值是什么、如何應用，更要考慮到平均數作為典型值的局限以及真實生活數據的復雜性，充分引導學生討論平均數作為典型值表述一組數據的優缺點，合理選用相應統計量．

4.2 城市學生對于平均數概念理解優于農村學生

城鄉學生提出問題的類型與解決問題的表征選擇大體類似，但城市學生在問題解決準確性和問題提出合理性上，表現都優于農村學生．在第3題農村學生使用意義不明解法或沒有解答的學生比率明顯高于城市學生，而在第4題城市學生選擇正確的解題策略比率也明顯高于農村學生．說明城鄉學生雖然在問題提出性質以及解題表征上思維類型相似，但是城市學生相比農村學生對于平均數的概念理解掌握與解題策略選擇更加熟練．

農村相比城市，在大規模學生學業測驗[24]、教師知識[25]、家長參與、課外學習投入等方面均與城市有明顯差異．因此，首先需要保障農村教育資源，改善農村辦學條件，加強農村師資隊伍建設，提升農村教育教學質量．然后就是需要建立家長、學校、社會協同配合機制，加強家長參與，完善學生課內課外的學習協調機制．

4.3 問題提出表現與問題解決表現具有一定的關聯性

問題解決對比總成績前10%的學生與總成績后10%的學生，其問題提出的合理性與問題解決準確性的關聯較強，在統計學意義上具有顯著相關，即問題解決準確性較高的學生，也能提出更多合理性的問題，這與以往研究得出的結論類似[18]．能夠提出涉及統計概念性理解問題的學生，也就是提出問題思維程度更高的學生與其他學生在解題策略和表征模式的選擇上有所差異，更能夠選擇正確的解題策略．表明學生問題提出表現能一定程度的影響其學習理解、策略選擇和表征選擇．

此外，在第2題考察學生算術概念性理解的題目中，學生提出了統計概念性理解的“判斷”類型問題．表明學生不僅能提出更加復雜的問題，還能夠在原有任務情境的基礎上提供新的視角，提出新穎的問題．過往研究表明，使用問題提出的教學手段進行概念課教學，能夠讓學生對于課堂學習更有參與感，促進學生的結合現實生活提出數學情境的思考，從而使學生不僅關注“是什么”，而涉足“為什么”，加深學生對于概念的理解[26]．使用問題提出教學手段，促使學生結合生活情境思考，不僅是對于概念的理解鞏固．算術平均數作為統計概念，同樣需要將其置于“提出問題—收集數據—分析數據—預測結果”的統計問題解決過程中，通過真實情境提出并解決統計問題[27]，還能促進學生對于整個數據處理過程的熟悉．因此，盡管問題提出教學的實施依然面臨一些挑戰[28]，如教師應當如何淡化形式、注重實質，將理論付諸于課堂教學實踐，真正實現可操作的問題提出教學[29]，教師仍應該積極嘗試提升自身問題提出能力[30]，合理設計問題提出教學任務改進教學．

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Exploring Students’ Understanding of the Average through Mathematical Problem Posing and Problem Solving

SONG Nai-qing1, 2, HU Rui1, 2, CAI Jin-fa1, 3

(1. School of Mathematics and Statistic, Southwest University, Chongqing 400715, China;2. Collaborative Innovation Center of Assessment for Basic Education Quality-Southwest University, Chongqing 400715, China;3. University of Delaware, Newark DE 19716, USA)

The average is an important concept in elementary school mathematics. Examining students’ conceptual understanding of the average contributes to teachers’ instructional design, thereby contributing to students’ learning of statistics. In addition, problem posing can both stimulate students’ creativity and be used to understand students’ conceptual understanding and mathematical thinking. In this study, we investigate 321 fifth-grade students from eight urban and rural schools in four districts in Sichuan province and city of Chongqing. The students were given four pairs of tasks, which had the same situations but with different requirements, and we analyzed the problems that were posed by the students based on their appropriateness, their extension beyond the givens, and their content. We also analyzed the students’ problem solving based on correctness of answers, strategies, and representation. We then examined the relationships between students’ mathematical problem solving and problem posing. We obtained four main results: Students were able to pose appropriate problems, and the problems they posed became more novel and complex as the difficulty of the requirements increased; students showed greater conceptual understanding of the average algorithm than understanding of the statistical aspect of the average; urban students had a better understanding of the average than rural students; and there was a relation between the students’ problem posing and problem solving in the context of the average tasks.

mathematical problem posing; mathematical problem solving; average; students’ cognition; elementary school students

G622

A

1004–9894（2020）03–0001–08

2020–04–06

重慶市研究生科研創新項目——問題提出影響小學數學教師教學知識發展的實證研究（CYS19086）

宋乃慶（1948—），男，浙江杭州人，教授，博士生導師，主要從事數學教育、教育統計、基礎教育研究．蔡金法為本文通訊作者．

宋乃慶，胡睿，蔡金法．用問題提出和問題解決測試小學生對平均數的理解[J]．數學教育學報，2020，29（3）：1-8．

[責任編校：周學智、陳漢君]