中考數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何題靜態(tài)化思考

摘?要：本文通過(guò)對(duì)2014年質(zhì)檢題及近幾年中考試題中的動(dòng)態(tài)幾何題的分析，研究對(duì)策，尋找變化中圖形的性質(zhì)和特征，抓住變化圖形中的不變量，化動(dòng)為靜，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生解題素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);動(dòng)態(tài)幾何題;靜態(tài)思考

運(yùn)動(dòng)與變化是動(dòng)態(tài)觀，在解數(shù)學(xué)問(wèn)題尤其是幾何圖形問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要用這種觀念來(lái)審視或分析問(wèn)題，這其實(shí)就是解題的辯證觀，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)與靜止，固定與變化等，既對(duì)立又統(tǒng)一，我們利用這種對(duì)立統(tǒng)一就能使問(wèn)題易于解決，對(duì)培養(yǎng)思維的靈活性很有好處，二期課改后數(shù)學(xué)中的壓軸題逐步向數(shù)形結(jié)合，動(dòng)態(tài)幾何、動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)探究等方向發(fā)展，題意創(chuàng)新，目的是考查學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，特別是動(dòng)態(tài)幾何，讓考生感到特別煩惱，我們教師必須在教學(xué)中研究對(duì)策，把握方向，讓動(dòng)態(tài)中的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向靜態(tài)中思考，更好的培養(yǎng)學(xué)生解題素養(yǎng)，本文就今年龍巖質(zhì)檢題及歷年各地中考題談?wù)勛约旱挠^點(diǎn)。

一、 點(diǎn)在線上運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

（2014年龍巖質(zhì)檢題20）（如圖）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連結(jié)AD、ED，且∠1=∠B=∠C。

（1）請(qǐng)找出圖中一對(duì)相似三角形：______________________。

（2）若AE=3，EC=2，求線段的AD的長(zhǎng)（精確到0.01）。

本題是在新教材九年級(jí)上《相似形》的改編，典型的一線三角（三等角）的問(wèn)題。該題幾乎未提動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)上是動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，在∠1=∠B=∠C的條件上，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，從而帶動(dòng)了點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動(dòng)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ABD，△ADE，△DEC，△ADC中的其中兩個(gè)角都一直在變化中，因此就不能再去確定另一組角相等，此時(shí)我們必須在運(yùn)動(dòng)中尋找相對(duì)的靜態(tài)量，不難發(fā)現(xiàn)∠DAE（∠CAD）是△CAD和△DAE的公共角，雖然點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，這個(gè)公共角也在變化之中，但始終是一個(gè)等量，從而得到△DAE∽△CAD。

（2014年龍巖質(zhì)檢題24）（如圖）將一塊三角板放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，一直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一直角邊與射線DC相交于點(diǎn)Q，設(shè)AP=x。

（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你觀察得到的結(jié)論。

（2）是否存在點(diǎn)P（P不與A重合），使△PCQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出相應(yīng)的x的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（3）設(shè)以點(diǎn)B，C，P，Q為頂點(diǎn)的多邊形的面積為y，試確定y與x之間的出發(fā)關(guān)系式。

此考題可以從三個(gè)方面去入手：

方案（一）：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB，PN⊥DC，垂足分別為M，N（此時(shí)M，N，P三點(diǎn)共線），由于點(diǎn)P在AC上滑動(dòng)，線段PB，PQ長(zhǎng)度也隨之發(fā)生了變化，此時(shí)必須在動(dòng)中尋靜，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，正方形ABCD和三角板EPF始終不會(huì)發(fā)生變化，即∠FPE都為直角，從而恒有∠1+∠2=90°也就可得∠MBP=∠2，∠1=∠NQP的結(jié)論（靜態(tài)量），還有由正方形的性質(zhì)也可得到△AMP和△CNP也是等腰直角三角形，雖然等腰三角形大小會(huì)隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化，但其形狀不變，因此也就容易得到的結(jié)論（靜態(tài)量）從而證得△BMP≌△PNQ。

方案（二）：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥DC，由于線段AC是正方形ABCD的對(duì)角線，不論P(yáng)點(diǎn)在線段AC上如何運(yùn)動(dòng)，四邊形PNCM都為正方形，始終都有∠MPN=90°。又因?yàn)椤螮FP始終也是直角，即∠1+∠MPQ=∠2+∠MPQ=90°從而得到∠1=∠2的結(jié)論（靜態(tài)量），易證得△PNQ≌△PMB即PB=PQ。

方案（三）：本題由于沒(méi)有說(shuō)明點(diǎn)P不能與點(diǎn)A重合，①當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，PB=AB，PQ=AD，容易得到PQ=PB，②當(dāng)點(diǎn)P與線段AC的中點(diǎn)O重合時(shí)，PB=OB，PQ=OC此時(shí)也可得到PQ=PB，但我們不能以特殊情況去說(shuō)明一般性的結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)P滑動(dòng)到線段AC的中點(diǎn)之前，

都恒有∠FPE=∠BCD=90°（靜態(tài)量），在四邊形BFGC中都存在著∠BPQ+∠BCQ=180°，從而構(gòu)成了以BQ為直徑，P，Q，C，B，四點(diǎn)共圓，再由正方形的性質(zhì)可得∠1=∠2=45°，即PQ，PB所對(duì)的劣弧都為45°的弧（同圓中等弧對(duì)等弦）證得PQ=PB。

二、 繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題

研究歷年來(lái)各地區(qū)的動(dòng)態(tài)幾何壓軸試題，就能明確中考數(shù)學(xué)試題熱點(diǎn)的形成和命題的動(dòng)向，在素質(zhì)教育的背景下更明確地體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)的導(dǎo)向，動(dòng)態(tài)幾何題最突出的特點(diǎn)就是圖形是運(yùn)動(dòng)的，變化的，解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題時(shí)：首先需要把動(dòng)態(tài)問(wèn)題靜態(tài)化，化為幾個(gè)靜態(tài)的過(guò)程，“以靜制動(dòng)”抓住變化中的“不變量”以不變應(yīng)萬(wàn)變。

（2013年莆田中考題25）在Rt△ABC中，∠C=90°，D為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在BC，AC邊上，且DM⊥DN，作MF⊥AB于點(diǎn)F，NE⊥AB于點(diǎn)E。

（1）特殊驗(yàn)證：如圖1，若AC=BC，且D為AB的中點(diǎn)，求證：DM=DN，AE=DF。

（2）拓展探究：若AB≠AC。

①如圖2，若D為AB的中點(diǎn)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論有一個(gè)仍成立，請(qǐng)指出并加以證明。②如圖3，若BD=kAD，條件中“點(diǎn)M在BC邊上”改為“點(diǎn)M在線段CB的延長(zhǎng)線上”其他條件不變，請(qǐng)?zhí)骄緼E與DF的數(shù)量關(guān)系并加以證明。

此考題雖然沒(méi)有提到“動(dòng)”字，但實(shí)質(zhì)也是一道動(dòng)態(tài)幾何題，即∠NDM繞著點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)M，N分別在BC，AC邊上運(yùn)動(dòng)，而∠NDM始終為直角，此類(lèi)型在前面我們也探究過(guò)，不難發(fā)現(xiàn)恒有∠1+∠2=90°，又因?yàn)镸F⊥AB，NF⊥AB從而推得∠1=∠FMD，∠2=∠END（靜態(tài)量），接著可能較多學(xué)生就想方設(shè)法去證△DEN≌△MFD而錯(cuò)誤，應(yīng)注意考慮條件，△ABC為等腰三角形，點(diǎn)D又是底邊AB上的中點(diǎn)，（即三線合一）。因此連接CD，易得到∠CDA=∠CDB=90°（靜態(tài)量），從而證得△CDM≌△ADN，即DN=DM，再去證得△DEN≌△MFD即NE=DF，又因?yàn)椤鰽EN始終也為等腰三角形（靜態(tài)量）所以AE=NE即AE=DF成立。

第（二）小題在第（一）小題的基礎(chǔ)上改編，也屬于動(dòng)態(tài)幾何題，還是應(yīng)該從動(dòng)中尋靜，（如圖）不妨過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥AC，DP⊥BC，從而四邊形QDPC恒為矩形（靜態(tài)量）就不難得到∠1=∠2，易證△DQN∽△DPM，即DNDM=DQDP。易證△DEN∽△MFD得DNDM=ENFD，所以DQDP=ENFD從而PBPD=ENFD。易證

△AEN∽△DPB得AENE=DPBP所以ENFD=AENE即AE=FD。

（2013年三明中考題22）如圖1，AB是半圓O的直徑，以O(shè)A為直徑作半圓C，P是半圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與A、O不重合），AP的延長(zhǎng)線交半圓O于點(diǎn)D，其中OA=4。

（1）判斷線段AP與PD的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由。

（2）連接OD，當(dāng)OD與半圓C相切時(shí)，求弧AP的長(zhǎng)。

（3）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E（如圖2）設(shè)AP=x，DE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍。

此考題是以點(diǎn)P在半圓C上運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)了點(diǎn)D在半圓O上的運(yùn)動(dòng)，從而形成了線段AD繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)的問(wèn)題。

方案（一）：連接PQ，OD，不論如何繞A怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，始終有幾個(gè)量是恒定的，即∠APO=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）（靜態(tài)量），在半圓O中半徑相等即AO=DO（靜態(tài)量），不難就想到了等腰三角形的性質(zhì)（三線合一），證得AP=PD。

方案（二）：連接PO，BD，不論如何繞A怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)都恒有∠APO=∠APB=90°（直徑所對(duì)的圓周角為直角）（靜態(tài)量）從而得到PO∥BD，又因?yàn)辄c(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，點(diǎn)P也是線段AP的中點(diǎn)，證得AP=PD。

（2）（3）題略。

總之，動(dòng)態(tài)幾何題是以幾何知識(shí)和幾何圖形為背景，滲透運(yùn)動(dòng)變化，反映了“運(yùn)動(dòng)”與“靜止”，“固定”與“變化”的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)幾何圖形的變化，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察，想象和探索的過(guò)程，考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的重要題型，解決這類(lèi)問(wèn)題應(yīng)抓住變化中圖形的性質(zhì)和特征，化動(dòng)為靜，讓動(dòng)態(tài)問(wèn)題向靜態(tài)化中去思考。

參考文獻(xiàn)：

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[2]周淑萍，蔡德清.基于課標(biāo)的初中數(shù)學(xué)校本作業(yè)的設(shè)計(jì)與說(shuō)明[J].福建教育，2013（19）.

作者簡(jiǎn)介：黃德輝，福建省漳平市，福建省漳平第三中學(xué)。