一題多解得樂趣

劉彥龍

摘? 要：高中數(shù)學(xué)是所有科目中比較難的學(xué)科，它不僅要求我們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有良好的掌握，還要求我們能巧妙地利用發(fā)散思維解題。訓(xùn)練發(fā)散思維最好的方法之一就是“一題多解”。“一題多解”，不僅能增加解題樂趣，還能讓原本枯燥的解題過程變得有趣。

關(guān)鍵詞：激發(fā)興趣;開拓思路：思維方法

平時(shí)教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)，而一題多解在數(shù)學(xué)解決問題中最為常見，它是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的有效方法。

“一題多解”就是要啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同思路，用不同的方法，去分析解答同一道數(shù)學(xué)題的練習(xí)活動(dòng)。一題多解的訓(xùn)練不僅能開拓學(xué)生解決問題的思路，還可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展智力。教給學(xué)生一題多解的基本解題方法，可以讓學(xué)生更好地掌握解題規(guī)律，提高綜合運(yùn)用知識(shí)解答數(shù)學(xué)問題的技能。

【題目】（2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)第22題）

在平面直角坐標(biāo)系 中，圓 的方程為 .

（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓 的極坐標(biāo)方程;

（2）直線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)）， 與圓 交于 、 兩點(diǎn)， ，求直線 的斜率.

【分析】本題屬于極坐標(biāo)與參數(shù)方程問題，考察直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，以及圓中弦長的不同計(jì)算方法。

（1）問中，對(duì)于圓 的方程為 ，只需要將 ， 代入圓 的方程化簡即可得到圓 的極坐標(biāo)方程。

（2）問中，要根據(jù)所選方法的不同，應(yīng)用直線 方程的不同形式，用含有傾斜角 的式子表示出弦長，再利用 ，得到關(guān)于直線 的傾斜角 的關(guān)系式，從而求得直線 的斜率 。

解：（1）把 ， 代入圓 的方程 得， ，化簡得 .所以圓 的極坐標(biāo)方程為 。

（2）解法一：常規(guī)法：利用圓的弦長公式 解題。

設(shè)直線 的斜率為 ，則 的普通方程為 ，即 。

圓心 到直線 的距離 .由圓的弦長公式 得， ，解得 。

解法二：參數(shù)法：利用直線參數(shù)方程中t的幾何意義解題。

在直線 的參數(shù)方程 （ 為參數(shù)）下，設(shè) 上 、 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 ， .把 代入圓 的方程 得， 。于是 ， .從而 .由 得， ， ，因?yàn)?，所以 ， ，所以 .所以，直線 的斜率為 或 。

解法三：極坐標(biāo)法：利用極坐標(biāo)系下 的幾何意義解題。

直線 的極坐標(biāo)方程為? ，設(shè) 上 、 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極徑分別為 ， .把 代入圓 的極坐標(biāo)方程 得.? ，于是 ， .從而? .由 得， ， ，因?yàn)?，所以 ， ，所以 .所以，直線 的斜率為 或 。

本題運(yùn)用了三種方法，對(duì)直線與圓的位置關(guān)系中的相交下求弦長這一典型問題進(jìn)行了研究。從不同的角度對(duì)同一問題進(jìn)行了解答.提高了學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力。

通過高中數(shù)學(xué)真題與經(jīng)典題的一題多解，希望高中數(shù)學(xué)中“一題多解”的解題方法能受到同學(xué)們和數(shù)學(xué)教師的重視。讓同學(xué)們嘗試從不同的角度思考問題解決方法，有利于發(fā)散思維的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)大網(wǎng)絡(luò)，各部分之間有著非常緊密的聯(lián)系。如果我們?cè)诮忸}時(shí)注意了這些聯(lián)系，就能用不同的方法去靈活解題。這樣既能加深對(duì)新舊知識(shí)的整體理解，又能提高思維的靈活性，而且會(huì)給自己帶來很多意想不到的快樂。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱秀紅.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的有效滲透[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（09）：70-71.

[2]杜蓉蓉.“一題多解”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探析[J].農(nóng)家參謀，2020（14）：205.