旋轉投影法評定孔類零件軸線直線度誤差

陳 暉， 劉志兵,2， 王西彬,2

(1.北京理工大學 機械與車輛學院, 北京 100081；2.北京理工大學 先進加工技術國防重點實驗室，北京 100081)

精密孔類零件是工業生產中應用最廣泛的零部件之一，廣泛應用于航空、航天、汽車、軍工、船舶、石油、冶金等精密制造行業. 軸線直線度誤差是孔類零件的一項重要指標，影響零部件的工作性能、裝配精度與使用壽命，必須嚴格控制精密孔類零部件的軸線直線度誤差. 隨著精密制造行業對孔類零件的軸線直線度誤差的控制要求越來越高，對誤差評定方法的精度也提出越來越嚴格的要求.

軸線直線度誤差屬于空間直線度誤差. 對于空間直線度誤差評定，國家標準提出3種基本方法[1]：兩端點連線法、最小二乘法和最小區域法. 其中最小區域法符合空間直線度誤差的定義，但是對于“最小區域”的求解，國家標準卻沒有給出具體的方法. 近年來，國內外的研究重點聚焦于通過確定最小區域來求解空間直線度誤差.

為擬合空間直線，胡仲勛[2]與王炳杰[3]提出了三維最小二乘法，從本質上克服了最小二乘法的理論缺陷，實現真正的三維擬合，有效提高了求解精度；Ding等運用切比雪夫理論[4]與半定規劃理論[5]擬合空間直線，實現對空間直線度誤差評定；Samuel等[6]通過構建測點集的外凸包確定了包容區域；Dhanish等[7]與Endrias等[8]對參考點組合迭代計算，得到最小區域的控制點組合. 利用投影可將空間問題簡化為平面問題，降低求解難度. 黃富貴等[9]將任意方向上直線度誤差的評定問題轉化為給定平面內直線度誤差與圓度誤差的評定問題；Cheraghi等[10]將空間直線度問題轉化為平面求解最小外接圓問題；為了提升投影法的評定精度，羅鈞等[11]根據投影面重合點數目的不同提出了不同的包容圓求解方法；張新寶等[12]針對兩點在包容圓上的分布情況，旋轉圓柱體軸線得到了更精確的空間直線度誤差評定值. 近年來，智能優化算法在形位精度誤差評定中的應用日益廣泛. 粒子群算法[13-14]、遺傳算法[15]、蜂群算法[16]等智能算法相繼被運用到空間直線度誤差評定中，這些算法的結果通常受到目標函數形式與初始參數選擇的影響.

傳統投影法是將測點向垂直于最小二乘中線的中垂面投影，將空間問題轉化為圓度評定問題[11]. 不同于傳統投影法，本文將測點向空間坐標系o-xyz的垂直面(yoz面或xoz面)投影，考慮到直接投影會遺漏控制點的問題，提出一種旋轉投影法評定軸線直線度誤差. 通過對測量點進行齊次坐標變換與旋轉投影，將空間直線度評定轉化為平面直線度問題，從而實現快速準確的誤差評定.

1 測量點的旋轉投影

1.1 軸線直線度誤差模型

圖1為軸線直線度誤差模型示意圖，圖中實際直線指被測實際直線，測點指被測實際直線上的采樣點，理想直線由測點擬合得到. 軸線直線度誤差屬于空間直線度誤差，指被測直線相對于其理想直線在任意方向上存在的變動量. 國家標準規定，空間直線度誤差值等于包絡所有誤差測點的最小圓柱面的直徑[1]. 理想直線L由最小原則確定，設直線L的方向向量為(l,m,n)，通過點(a,b,c)，該直線的方程可以表示為

(1)

其中直線參數l,m,n,a,b,c為需要確定與優化的變量. 測點與理想直線的距離表示為

(2)

ri的最大值即為包容所有測點圓柱面的圓柱半徑，該半徑的2倍即為所求空間直線度誤差. 包容所有測點的圓柱面的數量很多，其中具有最小直徑的圓柱面即為最小區域. 求解最小區域的過程是一個復雜的非線性優化過程[9].

圖1 軸線直線度誤差模型Fig.1 Model of axis straightness error

通過投影的方式可以將空間誤差評定問題轉化為平面誤差評定問題，簡化求解難度. 在平面上求解包絡所有測點的最小區域的值，即為空間直線度誤差值，位于包容區域邊界上的測點稱為控制點. 但是，投影過程必然會丟失一些測點之間的空間幾何關系，如何減少誤差，獲得更為精確的最小區域是投影法面臨的難點之一.

1.2 齊次坐標變換

為便于后續誤差評定，將測點由坐標系o-xyz向坐標系o′-x′y′z′轉化，使最小二乘中線經過坐標系o′-x′y′z′的原點，并與z′軸重合. 設測點最小二乘中線的方向向量(l,m,n)，通過點(a,b,c)，則齊次坐標變換公式為

[x′,y′,z′,1]=[x,y,z,1]·Rt·Rx·Ry,

(3)

其中

α與β為最小二乘中線與坐標平面的夾角，其中

齊次坐標變換的示意圖如圖2所示.

圖2 齊次坐標變換Fig.2 Homogeneous coordinate transformation

1.3 旋轉投影

齊次坐標變換后測點的分布如圖3所示.

圖3 坐標變換后測點分布Fig.3 Measuring point distribution after coordinate transformation

如圖4所示，若直接將測點向y′o′z′平面投影，當測點與其最小二乘中線上垂足的連線和y′o′z′平面的角趨近90°時，無論測點與中線距離長短，投影點始終會在z′軸附近，這類測點的距離關系無法在投影點中體現，稱為投影抑制點.

圖4 直接投影法誤差分析Fig.4 Error analysis of direct projection method

在y′o′z′投影面上，抑制點的投影點被其他測點的投影點包圍. 評定最小包容區域時，抑制點不會成為控制點. 若抑制點集中某測點與中線的距離大于其他測點，該測點應成為控制點，但是直接投影法無法求解. 因此，直接將測點向y′o′z′平面投影會遺漏控制點組合，影響評定結果的精度.

為全面反映測點的分布情況，需要同時將測點向x′o′z′平面投影，最后擬合兩個平面的評定結果，從而得到空間直線度誤差值. 直接投影法需要兩次投影，增加了計算量并且擬合過程引入的評定誤差會影響評定精度[2].

旋轉投影法將測點繞最小二乘中線旋轉投影到y′o′z′平面上，僅需一次投影就能得到包容所有測點的最小區域，如圖5所示.

圖5 旋轉投影Fig.5 Rotating projection

圖5中，θi為測點i與其在最小二乘中線上垂足的連線與y′o′z′平面的夾角，采用旋轉投影法，將各測點繞z′軸旋轉角度θi，使各個測點落在y′o′z′平面上，轉換后的坐標表示為

[x′′,y′′,z′′,1]=[x′,y′,z′,1]·

(4)

旋轉投影后各測點的分布如圖6所示. 通過旋轉投影，各測點與最小二乘中線的距離關系被保留下來并轉換到y′o′z′平面，軸線直線度誤差評定問題轉化為平面直線度評定問題，包容平面測點的兩平行直線的距離即為軸線直線度誤差值.

2 直線度誤差評定

為便于后續誤差評定，z′軸與y′軸分別作為平面坐標系的X軸與Y軸，組成平面坐標系XOY，在XOY平面進行誤差評定，評定流程圖如圖7所示.

圖6 旋轉投影后坐標分布Fig.6 Coordinates distribution after rotating projection

圖7 評定流程圖Fig.7 Flow chart of evaluation

在測量點中任選3個點作為控制點，其坐標分別為(X1,Y1)，(X2,Y2)，(X3,Y3)，求解控制點確定的控制線的直線方程，如圖8所示.

圖8 控制點與控制線Fig.8 Control point and control line

按式(5)計算控制點與控制線的垂直偏差d.

(5)

其中，λ1=X3-X2，λ2=X1-X3，λ3=X2-X1.

按式(6)計算控制線對應點的縱坐標

(6)

得到控制線經過的三點坐標為(X1,Y1′)，(X2,Y2′)，(X3,Y3′)，按式(7)計算控制線的斜率k與截距b.

(7)

計算各測量點到控制線的距離di.

(8)

di的正負號反映測量點與控制線的位置關系. 符號為正表示測量點在控制線上側，符號為負表示測量點在控制線下側.

式(8)計算得到的結果中，距離絕對值的最大值記為|dmax|，對應的點坐標為(Xdmax,Ydmax)；控制點到控制線距離的絕對值記為|dc|. 若|dmax|>|dc|，則|dmax|對應的測量點加入控制點點集，并從原控制點中去除多余的點，如圖9所示.

圖9 控制點加入與去除Fig.9 Control point addition and removal

被去除的點序號按式(9)～(10)來計算.

(9)

令c3=1，計算三點的距離比例系數q1，q2，q3.

(10)

若sign(d)·dmax>0，則距離比例系數最小的點被去除，相反，去除距離比例系數最大的點. 去除多余點后，根據3個新控制點的坐標，重復上述步驟，直至|dmax|=|dc|. 由控制線方程的計算過程可知，每次迭代的控制點都滿足最小區域的“高低高”或“低高低”準則，因此當|dmax|=|dc|時，可以認為該控制線確定的區域即為包容平面測點的最小區域，此時軸線直線度誤差f=2|dmax|，如圖10所示.

圖10 直線度誤差評定結果Fig.10 Evaluation result of straightness error

3 實驗分析

為驗證旋轉投影法的有效性與準確性，根據上述原理編寫誤差評定程序. 采用軟件為Matlab 2017b，電腦操作系統為win10，處理器為Intel i5-7400 CPU@3.00 Hz，安裝內存為8.00 GB，系統類型為64位. 采用文獻[11]的空間測量點數據，便于與不同評定算法進行比較.

測點數據經過坐標變換與旋轉投影后，在XOY平面的坐標如表1所示.

表1 空間坐標轉換后測量點的投影坐標

Tab.1 Projection coordinates of measuring points after transformation of space coordinates mm

測點序號XY測點序號XY1-245.124-0.001 28818.8560.001 472-207.412-0.002 02956.5650.003 763-169.6970.005 921094.2760.003 204-131.991-0.001 9211131.9870.003 425-94.279-0.001 2912169.7040.004 866-56.569-0.002 3513207.4150.004 657-18.8520.005 9214245.1210.004 06

每次循環計算的控制點序號如表2所示.

表2 每次循環的控制點序號Tab.2 Control point number for each cycle

由表2中的數據可知，每經歷一次循環，距離最大值對應的測量點都加入到控制點點集，多余點按第3節所述計算方法被去除. 5次循環后，確定最小區域控制點. 此時各測點與控制線的距離di如表3所示.

表3 測點與控制線的距離

Tab.3 Distance between measuring points and control line μm

測點序號距離測點序號距離13.8488-0.39124.37794.6253-3.781103.85943.851113.86053.00512-4.62563.85313-4.6257-4.625143.865

由表3的數據可知，第7、9、12、13點與控制線距離值最大，為4.625 μm，其中，7、9、13點為計算得到的控制點. 由表中數據可知，這3點符合“低高低”的最小區域準則，因此可以證明該方法的評定結果是有效的，直線度誤差評定結果為9.25 μm.

除去控制點點集，第12點同樣具有最大距離. GB/T 11336-2004規定，包容空間測點的最小圓柱區域有3個點在圓柱面上，4個點在圓柱面上和5個點在圓柱面這3種類型，文獻[11]數據即屬于4個點在包容圓柱面上的類型.

為驗證旋轉投影法的準確性，將評定結果與其他方法的評定結果進行比較，結果如表4所示.

表4 不同算法直線度誤差評定結果

Tab.4 Evaluation results of straightness error by different methods μm

評定算法評定值LSM18.10兩端點連線法34.00遺傳算法26.00LSABC11.803DLSA13.503PHFA[11]9.97逼近最小包容圓柱法[12]9.96本文方法9.25

當用最小包容區域準則評定直線度誤差時，在滿足最小區域的前提下，評定結果越小越接近實際最小包容區域[12]. 由表4的數據可知，在包容所有測點的前提下，本文方法的評定值最小. 結果表明：相比其他方法，旋轉投影法可以得到更為精確的直線度誤差值.

為更加全面分析旋轉投影法，參考不同文獻來源，將旋轉投影法與相對應文獻內的算法進行擴展對比分析，結果如表5所示.

表5 不同數據來源評定結果Tab.5 Evaluation results from different data sources

由表5數據可知，在處理不同的數據時，旋轉投影法的評定結果均能保持較好的精度，計算時間在0.1 s以內，綜合前文所述，本方法能夠應用在孔類零件軸線直線度誤差評定等工程領域.

4 結 論

為精確計算軸線直線度誤差值，滿足精密制造業對孔類零件軸線直線度誤差的控制要求，本文提出一種旋轉投影的誤差評定方法. 通過齊次坐標變換與旋轉投影，測量點圍繞最小二乘中線做旋轉投影轉換到同一平面，保留了測點之間的距離關系，避免了直接投影遺漏控制點組合的問題，在平面上實現對軸線直線度誤差的評定. 本方法無需復雜的非線性優化求解過程，計算量小. 計算結果表明，在符合最小區域要求的前提下，本文方法的評定結果優于其他算法，能夠用于精密制造行業孔類零件的直線度誤差數據評定. 此外，本方法更可拓展用于軸類等回轉體零件誤差評定，具有較高理論與實際應用價值.