數學素養：在教學“等待”中落地

江蘇南京市棲霞區實驗小學 張新宇

教師課前的備課設計往往決定上課的質量。筆者作為新教師在備課時，既想讓課堂教學能上出精彩，又總擔心學生是一張白紙，在某些問題中“答不到點子上”。因此，教師在課堂教學過程中，經常會對學生生拉硬拽，不給學生充分的時間交流，舍不得將太多的時間留給學生來表達，常常將學生的發言打斷，把課堂思維向自己的課前預設中帶。這就造成了教師一直說個不停，實行“滿堂灌”教學，導致教學效果低下，難以完成預期的教學目標。其實，這正是新教師中常見、多發的心性毛糙、修養缺乏歷練的毛病。

新教師往往比較自我，多把注意力全部集中在如何設計出精彩的教學環節上，而忽略如何讓學生學得出彩。如果換一個角度思考，從學生視角出發，課堂中學生的生成，其實就是最好的教學資源材料。教師在設計教學時，不能僅僅局限于教材、眼睛盯著知識體系，要兼顧學生，留給學生充分的交流和表達的時間，讓學生在課堂上能夠真正地參與到學習中，這樣才能使他們的數學素養落地生根。筆者在擔任五年級數學教學的一年里，就多次發現，其實學生有時在課堂上的數學學習思維表現，甚至能夠超出教師的想象，兒童其實是具有無限的發展潛力的。

一、抽象思維：對兒童生活經驗的深度挖掘

方程是數學里的一種重要思想方法，其基礎是用字母表示數，其實質是用一般性代替一個個具體的數，是思維的假設和抽象概括。而許多學生在五年級下冊學習列方程解應用題時，常常不容易適應方程思想，他們仍然局限于從低年級一直沿用的列算式計算求結果的思維方式，不習慣將未知數當作與已知數同樣地參與列式的思考表達方法。因此，如何培養學生的代數思維，讓學生克服原有列式計算思維方式的約束，順利列出方程，困擾著剛從事五年級數學教學的新教師。

【案例片段1】蘇教版數學五年級上冊第78頁的一道思考題：

“買3支圓珠筆和2支鉛筆要8.7元，買2支圓珠筆和3支鉛筆要6.8元，圓珠筆和鉛筆的單價各是多少？”

該題在還沒有學習方程時，學生們能夠解答嗎？他們會怎么解決呢？為了了解學生對此問題到底能不能解答，又可能采取什么方法解答，筆者決定先找班里幾個思維較為靈活的學生作為摸底對象，讓他們嘗試思考一番。課間，筆者給他們提出了這道題目。結果他們不僅解決了這個問題，并且幾個同學一起鉆研，竟然呈現出多種的解題方法。有的學生通過列出表格進行分析，有的畫出線段圖比較數量關系，也有的運用已知數據帶進去湊算試驗……其中有個學生很特別，他得意地向大家清晰地解說著他的思路——

“3圓+2鉛=8.7；2圓+3鉛=6.8，將它們合在一起買，就是5圓+5鉛=15.5，那么我們買1圓+1鉛就是3.1元。如果我們買2圓+2鉛就花了6.2元。”筆者問道：“你求出這個有什么用呢？”“老師你看，題目中買3支圓珠筆和2支鉛筆用了8.7元，比這個多買了一支圓珠筆。多花的8.7-6.2=2.5（元）不就是一支圓珠筆的價錢嗎？同樣的，我們也能根據第二個條件算出一支鉛筆的價錢是6.8-6.2=0.6（元）。”

學生的新穎思路的確十分巧妙難得，其中的思維表現細細分析起來有如下的超常之處：一是將圓珠筆和鉛筆分別用“圓”和“鉛”字來簡化代替，以簡練的方法列出兩個含有文字的類似“方程式”；二是解法思考中將題中兩個購買情況合并，從而得到了同樣圓珠筆與鉛筆都是5支的總價為15.5元；三是由此他推導計算得到一支圓珠筆和一支鉛筆是3.1元，進而兩支圓珠筆與兩支鉛筆就是6.2元的結論；四是用這一結論與第二種購買情況比較，就推導出一支鉛筆是6角；最后學生求出了一支圓珠筆是2.5元。思路清晰，過程完整。

對此，筆者不禁陷入了沉思，在筆者思考這道題目的時候，就算不列方程，也會用到等式的性質，而沒學過等式性質的學生，卻能夠聯系生活情景，做出這樣有序的推理，著實令人贊嘆。這位學生的思考方法實際上就是解二元一次方程的思想，只是他自己還沒有注意到這一點罷了。之后，也有學生陸陸續續地站起來，向大家說出他們的解題方法，其中不乏通過這樣的方法解題的學生，竟然能夠運用題中的兩個數量關系式相減，用“圓珠筆抵消鉛筆找出它們的單價差為1.9元”為切入點進行解題。更有學生已經接近于找出中學數學教學中使用的“消元法”了，只不過學生暫時不能這么明白地說出這一方法名稱而已。

在該班學生學完用字母表示數第一課時之后，筆者引導學生明白，前段時間的思考題，實際上就是用漢字“圓”“鉛”來代替這兩種物品的價格。如果把物體漢字用漢語拼音字母的首字母來表示，可以怎么表示呢？學生想到了用“Y”和“Q”來列出表示數量關系的算式！當學生發現了這樣表達的巧妙后，會為方程的學習打下良好的基礎。

二、遷移規律：抓時機引導類推的巧妙串聯

小學階段的簡便計算題，往往是運用四則運算的運算定律來對算式進行轉化，使之便于計算。一方面運用運算定律進行簡便計算具有一定的靈活性，對于數學能力要求較高，對于學生來說具有一定的困難。另一方面，運算定律的運用也為培養和發展學生思維靈活性提供了極好的機會。以往的簡便計算練習題的講解，筆者也就是讓學生說一說運用了哪些運算定律，怎樣轉變的，思維要求往往千篇一律。但是在一次課前引入環節，筆者出了一道簡便計算題，有一個學生的解題思路卻深深地吸引了我。

【案例片段2】新授前的引入思考題：簡便計算490÷35。

對于此類題，學生已經不知道做過了多少遍，看見題目迅速動筆計算：490÷35=490÷（7×5）=490÷7÷5=70÷5=14。然后他們自信滿滿地說：“先將35拆成7×5，再去括號，應用除法的性質這里7和5之間的乘號要改寫成除號！”本以為這題已經練習完畢，可以翻篇進入下一題了。此時，另一個學生緩緩地舉起了手說：“老師，這題我還有別的方法！”筆者讓她上臺演示了自己的解法。她邊寫邊說：“這里可以用除法中商不變的規律，將被除數和除數同時除以7，也能將算式化簡，從而進行簡便計算！算式是：490÷35=（490÷7）÷（35÷7）=70÷5=14。”這樣一道“典型的”簡便計算題，也可以運用商不變的規律，另辟蹊徑來作答。此時學生能夠跳出思維定式，不拘一格出新意，顯露出不俗的思維表現。

該學生的另解思維點醒了筆者，同時也在其他學生的心中留下了深深的烙印。受此啟發聯想，在接下來學習小數除法時，不少學生看到題目就已經能聯想到，可以運用商不變的規律來進行計算。教師又進一步引導學生在此基礎上繼續類推遷移：一是讓他們編出一些類似于4.8÷1.8的小數類除法題，嘗試應用商不變規律；二是將被除數和除數同時乘一個整數比如5，使得除法算式變為整數除法題進行簡便計算，讓學生完整理解商不變的規律，在除法計算中實現多層提升。這樣，學生步步遷移，拾級而上，學得非常輕松，在以后的數學學習中，就能夠多途徑地應用商不變規律從容應對了！

三、幾何直觀：兒童“錯誤”資源的真實捕捉

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思想，預測結果。”幾何直觀是一種十分重要的數學能力，借助于以形示數的幾何圖示直觀，實現直觀形象思維與抽象邏輯推理思維的結合，不但能夠促進兒童思維的發展，還可以幫助學生更為便捷地解決一些涉及圖形的數學問題。

【案例片段3】看圖計算圓外切正方形與內接正方形的面積關系問題。

在蘇教版數學五年級下冊《圓》這一單元教學中，在練習題中曾經出現過這樣一道題目：

如圖1，已知大正方形的面積是40平方厘米，求小正方形的面積。

拿到這個題目，大部分學生無從下手，有幾個“尖子生”開始動筆了，他們設大正方形邊長為d,圓的半徑為r,大正方形的邊長就是圓的直徑，那么因為大正方形的面積=邊長×邊長=40，那么可以得出d2=40，實際上就是2r×2r=40，也就是4r2=40，則r2=10。接著，連接對角線（如圖2）之后就會發現，小正方形面積是由四個小三角形組成的，三角形的面積就是r2÷2，四個就是2r2，那么就能求出小正方形的面積是20平方厘米。

這個時候，班級里傳來一聲：“你圖畫錯了！”筆者循聲看去，原來是我們班的一個小女孩把圖錯畫成了圖3被人提出了糾正意見。“錯畫”圖形的女生堅持說：“那我把這個圓連同里面的小正方形一起轉一下不就好了嘛？這樣小正方形的面積不就是大正方形面積的一半嘛？”這個旋轉的方法一出，學生更興奮了。在圖中，添上小正方形的對角線，就清楚地看出，組成小正方形的每一個小三角形，都是組成大正方形的每一個小正方形的一半！借助于旋轉45°，運用幾何直觀，使得算式簡單，方法易懂，真是另辟蹊徑，一目了然！

建構主義學習理論認為，學生并不是知識信息被動的接收者，而是積極主動的構建者。每個學生都是以自己頭腦中已有的知識和經驗為基礎，用個人特有的思維方式建構對事物的理解、進行檢驗和加以評議批判的。不同的人看到的是事物的不同方面。因此，即使是再好的教學設計，也不能保證每個學生的思維都不會超越教師預設的思維軌道。樹立建構主義的教學觀，具備了尊重兒童、相信兒童主體作用的兒童觀，教師在遇上教學中兒童思維一時卡殼的現象時，應耐心等待，給學生留足思考的時間和機會。

在課堂中，我們不妨放慢腳步，學會等待。等待不是無為,等待是學生成長路上的相伴相隨,它是一種寬容；等待是一種睿智,是一種“慢”教育；等待是一種信任,是一種用心贊賞,是一種用愛和學生的同行。教師站在學生的角度，重視兒童的奇思妙想，耐心傾聽學生們的表達，讓他們真正地成為課堂的主人。通過耐心的課堂等待，興許，精彩就能出現，兒童數學素養的發展就會出現飛躍！