新工科背景下計算方法課程實踐

陳麗娟 李明珠 張蕾 王麗莎

摘 ?要：新工科建設重視創新型、綜合化的工程教育理念。文章從計算方法教學現狀入手，分析了計算方法對于培養創新能力的必要性和創新性。鑒于計算方法的思想和方法在數學建模中應用廣泛，文章探究如何把數學建模思想融入計算方法教學中，并介紹了作者在計算方法課堂教學中講解數學建模思想的案例。實踐證明，該項研究對于提高新工科背景下學生的實踐和創新能力具有一定的意義。

關鍵詞：計算方法;數學建模;教學改革

中圖分類號：G640 ? ? ? 文獻標志碼：A ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2020）18-0074-03

Abstract： New engineering construction attaches great importance to innovative and comprehensive engineering education concept. Starting from the present situation of the teaching of computing method， this paper analyzes the necessity and innovation of computing method for the cultivation of innovation ability. In view of the wide application of the idea and method of computing method in mathematical modeling， this paper explores how to integrate the idea of mathematical modeling into the teaching of computing method， and introduces the case that the author explains the idea of mathematical modeling in the teaching of computing method. It has been proved that the research is of great significance to improve the students' practice and innovation ability under the background of new engineering.

Keywords： computing method; mathematical modeling; teaching reform

為推動工程教育改革創新，教育部在復旦大學召開高等工程教育發展戰略研討會。新工科以立德樹人為引領，以應對變化、塑造未來為建設理念，以繼承與創新、交叉與融合、協調與共享為主要途徑，培養未來多元化、創新型卓越工程人才，具有戰略型、創新性、系統化、開放式的特征。

計算方法是高等院校信息與計算科學專業、應用數學專業的主要基礎課程和部分理工科專業的公共課。計算方法主要闡述了現代科學計算中使用的數值計算方法和它的基本原理，具有廣泛的實際應用價值，是數學原理與實際問題和計算機的有機結合。

計算方法教學中如僅僅上課時傳授定理的證明和計算方法的推導，然后上機實習，忽視計算方法思想的講授。學生上課時會產生晦澀難懂的感覺，應用起來無從下手。理論與實際結合是該課程的特點之一。數學建模中大量應用了計算方法課程中的思想和方法，如插值和擬合法，最小二乘法，微分方程數字求解法。如果將數學建模的思想加入到計算方法的教學中，理論聯系實際，不僅為計算方法提供了應用背景，還會激發學生的積極性。

一、計算方法課程的特點及傳統教學中存在的問題

計算方法課程是為了解決實際問題而產生的，具有廣泛的實際實用價值。從教授課程的教學經歷看，學生比較重視該門課程。但計算方法的教學內容理論性強，公式較多，直觀性差。傳統教學中存在的問題，我們總結了三點：

1. 重視理論證明和公式推導，模擬算法少。計算方法課程的宗旨是提高學生創新能力，傳統的教學模式忽視計算方法實際應用，注重講授數值方法的原理，而結果是學生掌握了一些理論性的數值計算方法，實際運用能力不足。

2. 重視數值模擬，而忽略了探索研究。由于學生教學軟件運用能力的限制和實踐性教學內容匱乏，學生最多利用已有的Matlab軟件模擬一下數值計算案例，但學生很少有機會運用計算方法來解決其他的實際問題。

3. 老師在教學過程中重視知識傳授，忽視學生的學習積極性。計算方法課程在教學內容的安排上，眾多理論證明，相對繁、難。學生的學習方式也單一，學生總是被動地接受知識，使學生失去了創新學習的能力，并且長期以來以閉卷考試的成績作為衡量學生掌握該課程的主要標準。這些情況會造成部分學生的學習積極性逐漸喪失，而且“高分低能”現象成了現代教育的普遍現象。

二、數學建模融入計算方法教學

（一）采用“問題驅動式”教學方法

首先對“計算方法”中的教學內容進行新的設計和構造。創設具有實際背景和應用價值的問題，很多問題均與數學建模有關。這樣能激發學生學習求知的興趣。在教學過程中，給予學生思考時間，部分推導可以讓學生自己獨立完成。例如：在講解插值法之前，可引入體現數學建模思想的案例。

在一天24小時內，從零點開始每間隔2小時測得的環境溫度數據分別為

12，9，9，10，18，24，28，27，25，20，18，15，13

推測中午1點的溫度，并做出24小時溫度曲線圖。

案例會引起學生的好奇心，進而來講解插值法公式，最后來求解該題。

（二）注重算法的講解，能實際應用到數學建模中

計算方法著重講解算法的理論以及推導過程。數學建模關注如何用，怎樣用。我們可以通過上機，用Matlab軟件進行驗證算法，解決數學建模中的一些實際案例，讓同學們掌握更多更有效的解決實際問題的手段，進而提高他們的創新和科研能力。例如，在講解微分方程數值解法的時候，我們可以用Matlab來驗證Euler方法，梯形方法。改進的Euler方法的收斂速度問題。

（三）考核方式改革

好的考核方式會提高學生的學習積極性。為了讓學生積極參與討論和學習，提高學生的實際操作能力。我們應有明確的考核標準。計算方法課程注重過程考核，可包括以下幾個方面：1. 期末考試占80%。期末考試是教學過程中重要的組成部分，我們可以選取一些具有實際背景的題目，讓學生利用課上學習的知識進行作答，加強學生應用能力。2. 討論課及小作業情況占10%。3. 章節測試占10%。定期對學生進行章節測試，以掌握學生學習的狀態。踏踏實實，每一章節都很扎實，知識方能積累。通過過程考核，能夠培養學生認真思考，開拓創新的素質。

三、案例分析

教學內容：微分方程數值解，案例分析：導彈跟蹤問題。

問題：某軍隊一導彈基地發現正北方向120km處海面上有敵艇一艘以90km/h的速度向正東方向行駛。該基地立即發射導彈跟蹤追擊敵艇，導彈速度為450km/h。自動導航系統使導彈在任意時刻都能對準敵艇。試問導彈在何時何處擊中敵艇？

數學建模：微分方程建模的方法主要是依據守恒定律來建立等量關系式。對于這個問題，尋求等量關系是比較簡單的。設坐標系如圖1所示，取導彈基地為原點（0，0），x軸指向正東方，y軸指向正北方向。

模型求解：數值解法

將初值問題化為一階微分方程組

取自變量y的步長為h=H/n，于是得分割點y0=0，y1=h，y2=2h，…，yn=nh=H。

下面介紹兩種近似算法來進行數值處理。

1. Euler方法

Euler方法十分簡單，就是利用數值積分給出計算公式。得到計算的迭代格式：

利用Matlab程序實現算法。表1是對于不同的 n 值所對應的計算結果。顯然，n 越大（即 h 越小），結果就越精確。

此時的近似解：L≈24.15（km），T=0.268（h）。

2. 改進的Euler方法（預估-校正法）

對應的迭代公式為：

編寫Matlab程序實現以上改進Euler法：將y的變化區間[0，H] 4等分，計算結果如下：

此時，L≈x4=21.2781，T≈L/ve=0.2364。

四、結束語

隨著數字信息化的發展，計算方法的重要性日趨所見。將數學建模思想融入計算方法的教學中，可以推動學習的積極性，提高學生的創新和科研能力。但如何更好地把數學建模思想融入計算方法的教學課程中，是我們以后要研究的重點。

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