平移變換法速解圓錐曲線定點定值子弦問題

廣東省廣州市華南師范大學(510631) 王金瑩

設點P是圓錐曲線上的一個定點,PA,PB是該曲線過定點P的兩條弦,當直線PA,PB的斜率之和(積)為定值λ時,稱線段AB為該曲線上定點P的關于定值λ的斜率等和(積)子弦[1].本文所研究的問題即圓錐曲線定點定值子弦的性質:當時,關于λ的斜率等和(積)子弦所在直線必過定點.

下面以橢圓為例,用平移變換法予以證明和應用.

一、斜率等和子弦

結論1橢圓C:= 1(a > b >0),點P(m,n)為橢圓C上一點.設直線l不經過點P,且與橢圓C相交于A,B兩點.若kPA+kPB=λ(0),則直線l過定點.

證明作平移變換

由于P(m,n)為橢圓上一點,所以.于是

設l′:ux′+vy′=1,代入上式得

等式兩邊同時除以x′2得

由于平移變換后點P的坐標變為P′(0,0),故kP′A′,kP′B′為方程①的兩個根.又因為平移變換不改變直線的斜率,所以kP′A′+kP′B′=λ,從而由韋達定理有

可知直線l′恒過定點,故直線l恒過定點

注利用平移變換,將橢圓上的定點轉化為原點,從而變換后弦P′A′,P′B′的斜率即為點A′,B′的坐標比值.巧妙的是,平移變換不改變直線的斜率,而直線l不過定點P,也即變換后直線l′不過原點,故交點A′,B′必不是y軸上的點,如圖1.由此可以同除以x′2得到方程①,kP′A′,kP′B′即為方程①的兩個根,達到了簡化運算,避免分類討論不同直線情形的目的.

圖1平移變換后的橢圓

例1(2017年高考全國I 卷理科第20 題)已知橢圓四點P1(1,1),P2(0,1),中恰有三點在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設直線l不經過點P2且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為?1.證明:直線l過定點.

證明(1)

(2)作平移變換

設l′:mx′+ny′=1,代入上式得

等式兩邊同時除以x′2得

可知kP2′A′,kP2′B′為方程的兩個根.……