處理雙變量問題的常見策略

廣東省東莞市東莞實驗中學 尹淑芬

雙變量問題活躍于高考題和競賽題中,問題形式多樣,出現在選擇填空題,也出現在壓軸題中.這類問題難度大,綜合性強,問題的求解對學生思維能力要求高.本文將結合例題說明處理雙變量問題的常見三大策略,為學生解決該類問題提供有效的路徑.

策略一 消元

(一)換元法

常見換元有兩種:整體換元與三角換元.

(1)整體換元若雙變量表達式可以通過變形,能夠把一個含有雙變量的式子視為一個整體,那么可以通過換元轉化為單變量表達式,常見的如等.

例1(2019年清華大學自主招生考試第11 題)實數x,y滿足x2+(y ?2)2≤1,求的最大值和最小值.

解答當x= 0 時,當0 時,當x>0 時,易得令

當x <0 時,易得令,θ ∈

評注通過齊次化,構造出,使用整體換元法,減少變量,在此過程中需要求出元的取值范圍.

(2)三角換元當已知條件為關于兩個變量x,y的齊次式之和或之差等于一個確定的常數,可以聯想到三角公式,從而把兩個變量x,y的表達式轉化為三角函數表達式來求出范圍.

常見的三角換元有:

如果條件中有x2+y2= 1 可作代換為x= cosθ,y=sinθ.

如果條件中有x2?y2= 1 可作代換為x= secθ,y=tanθ.

例2已知x2+y2=4,求|x2+2xy ?y2|的最大值.

解答設x=2 cosθ,y=2 sinθ,θ ∈[0,2π),所以|x2+2xy ?y2|的最大值為

評注三角函數公式變形比多項式變形更為豐富,若使用三角換元,便可以使用三角函數的各種恒等式進行變形,實現對代數式的簡化.

(二)主元法

例3證明:

證明不妨設a > b,則待證不等式變成(lna ?lnb)(a+b)?2(a ?b)>0.把a看作是變量,b看作是常數,構造函數f(a)=(lna ?lnb)(a+b)?2(a ?b),a>b.在(b,+∞)上單調遞增,f′(a)> f′(b)= 0,所以f(a)在(b,+∞)上單調遞增,f(a)>f(b)=0,不等式得證.

評注當……