限制角條件的“三角”問題考向透視

安徽省太湖中學(246400) 李昭平

三角形是一種重要的數學模型,邊角中的定量和定性關系,邊角中遵循的正余弦定理和面積公式,以及邊角與向量之間的聯系等等,為處理“三角”問題提供了條件.近年來,高考和模考中出現了不少限制角條件的“三角”問題,比如銳角三角形、鈍角三角形、三內角成等差數列、三邊成等比數列、某些角之間的特殊關系、圖形中隱含的角的條件等等,使得試題的結構更加新穎、更加活潑、更加全面,有效考查了學生思維的縝密性、嚴謹性、深刻性和靈活性.下面結合部分典型試題,透視對這類“三角”問題的考向,供參考.

考向1 比較大小

例1(2019年合肥市高三段考題)已知奇函數f(x)在[?1,0]上為單調減函數,又α,β為銳角三角形的兩個內角,則( ).

A.f(cosα)>f(cosβ) B.f(sinα)>f(sinβ)

C.f(sinα)f(cosβ)

解析因為α,β為銳角三角形的兩個內角,所以為銳角,所以即1>sinα >cosβ >0.由于奇函數f(x)在[?1,0]上為單調減函數,因此f(x)在[0,1]上也為單調減函數,于是f(sinα)

評注本題中角的限制條件是“α,β為銳角三角形的兩個內角”,利用并結合函數的單調性處理.注意:若?ABC是銳角三角形,則且且

考向2 求最值

例2(2018年青島市聯考題)在?ABC中,則tanAtanB的最大值是____.

解析因為所以即1?tanAtanB= tanA+tanB.因為tanA >0,tanB >0,所以即令則即所以當且僅當時等號成立.故tanAtanB的最大值為

評注本題中角的限制條件是,利用正切公式展開,并結合基本不等式處理.易證:在?ABC中,若,則(1+tanA)(1+tanB)=2.

考向3 判定三角形的形狀

例3(2020年南通市聯考題)在?ABC中,三內角A,B,C成等差數列,且sin2B=sinA·sinC,則?ABC是( )

A.直角三角形 B.鈍角三角形

C.腰和底邊不等的等腰三角形 D.等邊三角形

解析因為A……