由一道賽題談“聯立雙直線方程”在解幾試題中的妙用*

廣東省中山市濠頭中學(528437) 閆 偉

1.試題呈現

題目(2019年廣西賽區預賽試題)如圖1,設k >0 且1,直線l:y=kx+1 與l1:y=k1x+1 關于直線y=x+1 對稱,直線l與l1分別交橢圓于點A,M和點A,N.(1)求kk1的值; (2)求證:對任意的k,直線MN恒過定點.

圖1

作為競賽試題,該題難度適中,解法多樣,是一道具有研究價值的好題.碰到這道題是源于在一節自習課上筆者偶遇幾個數學基礎較好的學生討論此題,于是第二天將此題作為選做題作業布置給學生,經反饋后,能解出的學生大都采用的是下文中的常規解法,個別學生用的是齊次化求解(算是很牛的學生),大部分人勞而無功,主要原因是“算”不下去.下面給出常規解法,供大家參考.

解(1)因為直線l與l1關于直線y=x+1 對稱,由到角公式知:,解得kk1=1.

(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),聯立直線AM與橢圓方程得(4k2+1)x21+8kx1= 0,所以聯立橢圓與直線AN同理可得:由可知:,于是直線MN的斜率從而直線MN的方程為化簡得:對任意的k,直線MN恒過定點

評注此解法是解析幾何試題中求定點問題的常用方法,用斜率作為單一參數來表示直線方程,進而確定定點坐標;解法思路自然,學生容易想到,但是運算量很大,對學生的運算能力有較高的要求.

2.試題第(2)問的另解

大部分計算能力較弱的學生算不下去,要么是聯立后M,N坐標算錯,或者直線MN的斜率化簡出問題導致解題崩盤;其實對于這類定點問題,我們想解決直線MN的方程,而MN的方程受到直線AM,AN的制約,于是可以將兩條直線方程同時與橢圓聯立得到三個公共點再舍去A點,即可得到直線MN的方程,思路簡……