例談伸縮變換在解高考題中的應用

廣東省佛山市高明區教師發展中心(528500) 張文玲

一、定義引出

在高中數學選修4-4 第一講中,有如下定義:設點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點,在變換的作用下,點P(x,y)對應到點P′(x′,y′),稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換,簡稱伸縮變換.在它的作用下,可以實現平面圖形的伸縮.

在此變換下,原來直角坐標系xOy中的點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)對應變為直角坐標系x′O′y′中的點A′(x1′,y1′),B′(x2′,y2′),C′(x3′,y3′),且有如下結論:

①若點A,B,C三點共線,則點A′,B′,C′三點也共線[1].

②若A,B,C三點共線且|AB|=λ|BC|(λ>0),則變換之后|A′B′|=λ|B′C′|(λ>0).故若點B為線段AC的中點,則點B′為線段A′C′的中點[1].

③若直線AB的斜率為k,則直線A′B′的斜率為mk[1].故兩條平行直線經變換后仍然平行.

④兩封閉圖形的面積之比在變換前后不變.

在圓中有很多優美的性質,將橢圓伸縮變換為圓之后,就可以利用圓的性質來解決一些問題,簡化了計算,使學生不再“望橢圓而生畏”.下面從圓的四個常見性質出發來解決一些涉及到橢圓的高考題目.

二、應用舉例

(一)直徑所對的圓周角是直角

例1(2019年高考全國Ⅱ卷理科第21 題)已知點A(?2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為記M的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程,并說明C是什么曲線;

(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結QE并延長交C于點G.

(ⅰ)證明:?PQG是直角三角形;

(ⅱ)求?PQG面積的最大值.

解析第(1)問和第(2)問的第(ⅱ)小題略,下面考慮第(2)問的第(ⅰ)小題.

設點P(x0,y0),G(xG,yG),則Q(?x0,?y0),E(x0,0).設直線PQ的斜率為k(k >0),則直線QE的斜率為P,G,Q,E分別對應變為P′,G′,Q′,E′.所以變換后直線P′Q′的斜率為直線Q′E′的斜率為

因為P′Q′為直徑,所以P′G′⊥Q′G′,所以直線P′G′的斜率為,所以

圖1

因為直線PG……