從2019年浙江卷解幾壓軸題談兩三角形面積之比的求解策略*

福建省龍海第一中學新校區 蘇藝偉

福建省漳州漳浦第四中學 陳錦山

一、試題呈現

題目(2019年浙江卷理科解幾壓軸試題)如圖1,已知點F(1,0)為拋物線y2= 2px(p>0)的焦點.過點F的直線交拋物線于A,B兩點,點C在拋物線上,使得?ABC的重心G在x軸上,直線AC交x軸于點Q,且Q在點F的右側.記?AFG,?CQG的面積分別為S1,S2.

(1)求p的值及拋物線的準線方程;(2)求的最小值及此時點G的坐標.

圖1

二、試題分析

在文[1]中,林國紅老師對此題的第二步進行了探究,給出了兩種解法,并將結論推廣.兩種解法中計算?AFG和?CQG面積都是采用底乘以高除以2 的方法,在運算量上偏大.試題第二步要求的是?AFG和?CQG面積之比的最小值.觀察圖形,分析圖中幾何要素中隱含的幾何關系.不難發現,可以借助平面幾何知識求解.?ABC的重心G告訴我們S?ABG=S?ACG.從圖1不難發現,S1和S?ABG存在一定的關系,S2和S?ACG存在一定的關系,只要能夠把它們的關系研究清楚,本題就順利求解.

不妨設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

所以?ABG和?AFG都是以FG為底,面積之比為高之比,即.同理

所以?CQG和?ACG都是以QG為底,面積之比為高之比,即

又由于S?ABG=S?ACG,從而可以得到的表達式.

三、試題解析

解析(2)由第一步知拋物線方程為y2= 4x.設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).y1+y2+y3= 0,y3=?y1?y2.從而

故

令f′(t)=0,得在單調遞減,在單調遞增.

因此,f(t)的最小值為所以的最小值為

四、試題方法總結

本題求解的關鍵在于借助平面幾何知識準確地表示出相關三角形的面積或者面積之比.通過觀察圖形不難發現?ABG和?AFG都是以FG為底,則面積之比為高之比;?CQG和?ACG都是以QG為底,面積之比也為高之比.這些幾何關系的挖掘是建立在求三……