2019年全國I卷理科第21題的探究及其題型歸類

廣東省湛江一中培才學(xué)校(524037) 魏 欣

課堂教學(xué)活動(dòng)要以教材為準(zhǔn)則,解題教學(xué)要以課本例習(xí)題為基礎(chǔ),并作合理變式,適度拓展,充分發(fā)揮例習(xí)題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題的典型性、方法的指導(dǎo)性、解題過程的示范性作用.下面以2019年全國Ⅰ卷理科第21 題為例,挖掘教材和高考題的功能,探究求滿足an+2=pan+1+qan(n ∈N?)的二階線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的解法.

一、試題展示與評析

題目(2019年全國Ⅰ卷理科第21 題)為了治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1 分,乙藥得?1 分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1 分,甲藥得?1 分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(Ⅰ)求X的分布列;

(Ⅱ)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4 分,pi(i=0,1,··· ,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則

p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,··· ,7),其中a=P(X=?1),b=P(X= 0),c=P(X= 1).假設(shè)α=0.5,β=0.8.

(i)證明:{pi+1?pi}(i=0,1,2,··· ,7)為等比數(shù)列;

(ii)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

解(Ⅰ)X的所有可能取值為?1,0,1;

所以X的分布列為……