例談同源法構造函數在解題中的應用

安徽省蕪湖市第一中學(241000) 劉海濤

在高中數學解題中,有些題中的等式(或不等式)經適當整理后,可以表示成兩側結構相同的形式,利用這個結構式構造對應函數,再用函數單調性解題的方法,我們通常叫做同源法構造函數.本文例談同源法構造函數在高中數學解題中的應用,與讀者分享.

1 同源法在解方程(或方程組)中的應用

例1解方程log13(5x+12x)=log5(13x?12x).

解析設log13(5x+12x)= log5(13x?12x)=t,則5x+12x= 13t,13x?12x= 5t,兩式相加得5x+13x=5t+13t,構造函數f(x)= 5x+13x,有f(x)=f(t),易知f(x)為增函數,則x=t,于是5x+12x=13x,即易知函數為減函數,且g(2)=0,所以x=2.

點評本題設兩個相等的對數值為t后,將對數式變形為兩個指數和式,相加整理得5x+13x=5t+13t,等式兩側結構相同,于是應用同源法構造函數解題.

例2已知x,y ∈R,滿足

求x+y的值.

解析由題,方程組整理為

即

構造函數f(x)=x3+2x+sinx,有f(x ?2)=f(2?y),由f′(x)= 3x2+2+cosx >0,得f(x)為增函數,所以x ?2=2?y,即x+y=4.

點評解決本題的關鍵是弄清題目的研究對象是x ?2和2?y,整理方程組出現(x ?2)3+2(x ?2)+sin(x ?2)=(2?y)3+2(2?y)+sin(2?y),兩側結構相同,構造函數f(x)=x3+2x+sinx解題.

2 同源法在求解(或證明)不等式中的應用

例3若0

A.ex2?ex1>lnx2?lnx1B.ex2?ex1

C.x2ex1>x1ex2D.x2ex1

解析選項A、B 可分別變形為ex2?lnx2>ex1?lnx1、ex2?lnx2< ex1?lnx1,于是構造函數f(x)=ex?lnx(0g(x2),即故選C.

點評該題是典型的同源法構造函數解題,由選項A 和B 變形可構造函數f(x)=ex?lnx,由選項C 和D 變形可構造函數,接下來只需要判斷構造函數在(0,1)上的單調性,再利用單調性判斷不等關系即可.

例4若實數x,y滿足3x+5y<3-y+5-x,則( ).

A.x+y >0 B.x+y <0 C.xy

解析由題,不等式整理得3x?5-x<3-y?5y,構造函數f(t)= 3t?5-t,有f(x)< f(?y),易知f(t)為增函數,則x

點評解決本題的關鍵是將不等式中的變量x,y分離到不等號的兩側,出現3x?5-x<3-y?5y,兩側結構相同,于是構造函數f(t)=3t?5-t解題.

例5已知a > e,比較ea-1與ae-1的大小,并證明你的結論.

解析要比較ea-1與ae-1的大小,同取自然底數的對數,即比較(a ?1)lne與(e ?1)lna的大小,即比較與的大小,構造函數即比較f(e)與f……