由兩道模考試題引出橢圓的一個(gè)充要條件

湖北省松滋市第一中學(xué)(434200) 王 波

題1(2020年福州市高三元月調(diào)考試題)已知圓橢圓的短軸長(zhǎng)等于圓O半徑的倍,C的離心率為

(1)求C的方程;

(2)若直線l與C交于A,B兩點(diǎn),且與圓O相切,證明:?AOB為直角三角形.

題2(2020 屆合肥市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)為A1,A2,上下頂點(diǎn)為B1,B2,菱形A1B1A2B2的內(nèi)切圓C′的半徑為橢圓的離心率為

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)M,N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),橢圓上一點(diǎn)P滿足|PM|=|PN|,試判斷直線PM,PN與圓C′的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

兩道試題都考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系、直線與橢圓的位置關(guān)系,考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng),檢驗(yàn)了學(xué)生分析問題與解決問題的能力.筆者在研究發(fā)現(xiàn)兩道試題的第二問有相似之處,均涉及過(guò)橢圓直線與橢圓內(nèi)一給定圓的相關(guān)問題,經(jīng)過(guò)探索得到如下結(jié)果.

定理已知直線l與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),則直線l與圓相切的充要條件是OA⊥OB.

證明(1)充分性

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),x1=x2,y1=?y2令l的方程為:x=x1,由于OA⊥OB,故即x1x2+y1y2=x12?y12= 0,又解得故l的方程為:故l與圓相切.

②當(dāng)直線l斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為:y=kx+m聯(lián)立l與橢圓C消去y得:(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2m2?a2b2= 0.由韋達(dá)定理得由于OA⊥OB,所以

(2)必要性

①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),l與圓O相切,l的方程為:時(shí),所以故OA⊥OB.當(dāng)時(shí),所以故OA⊥OB.

②當(dāng)直線l斜率存在時(shí),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),l的方程為:y=kx+m,聯(lián)立l與橢圓C消去y得:(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2m2?a2b2= 0.由韋達(dá)定理得

點(diǎn)O到直線l距離又l與 圓O:相切.所以即故

所以O(shè)A⊥OB.

評(píng)注題1 第二問實(shí)際上定理必要性特殊化考查,而題2 第二問是定理充分性特殊化考查,定理的證明過(guò)程即為兩題……