“無”中生“有”

薛正檜

一、無疑處設(shè)疑

宋代理學(xué)家、教育家朱熹說：“讀書無疑者，須教有疑，有疑者無疑，至此方是上進(jìn)。”有了問題、疑問和驚奇，兒童才能積極主動地思考。偉大的物理學(xué)家愛因斯坦也告誡我們說：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要。因?yàn)榻鉀Q問題也許僅是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)室上的技能而已，而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，都需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步?！闭n堂中，學(xué)生能否產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性的問題，是學(xué)習(xí)是否真正發(fā)生的標(biāo)志之一。

【片段一】

師：4個(gè)人到飯館AA制吃飯，付了100元，找回3元。你能提出什么問題？

生1：每個(gè)人應(yīng)付多少錢？

師：怎么解答？

生1：（100-3）÷4=24（元）……1（元），答：每個(gè)人付24元，還余1元。

師：這里面有“問題”嗎？

（學(xué)生面面相覷。）

師：錢剛才是我出的，現(xiàn)在我收錢了，你準(zhǔn)備給我多少錢？

生1：24元。

師：我好像不大認(rèn)同，你就給我24元？

（生1遲疑。）

師：你到底給我多少錢？

生1：25元。

師：那你虧了。

生2：在24到25之間。

師：這種感覺挺好，既不是24元，也不是25元，應(yīng)該比24元還多一點(diǎn)。過去我們學(xué)習(xí)有余數(shù)的除法時(shí)，算到這里就打住了。今天有事了，問題出在哪里呢？

生3：余下的1元，由誰出呢？

生4：1元能不能再4個(gè)人分？

師：請?jiān)囈辉嚒?/p>

【賞析】在學(xué)習(xí)小數(shù)除法之前，學(xué)生理解的除法是在整數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行的，當(dāng)除到被除數(shù)的個(gè)位不能整除時(shí)，那么就會用商和余數(shù)的綜合形式來表示結(jié)果。在他們看來，“每個(gè)人付24元，還余1元”是一個(gè)再正常不過的結(jié)果了，沒有任何可疑的地方。沒有了疑問，產(chǎn)生不了問題，思維就不會展開。教師借助情境來還原現(xiàn)場“你準(zhǔn)備給我多少錢”，讓學(xué)生在具體的付錢活動中感知到問題的存在。原本學(xué)生認(rèn)為“沒事”，結(jié)果被教師“找出了事”“發(fā)現(xiàn)了問題”。付24元不對，付25元也不對。余下的“1元”究竟應(yīng)該由誰來付？怎么付？學(xué)生已有的認(rèn)知平衡被打破，他們認(rèn)識到：最后的余數(shù)還得繼續(xù)分下去，直至分完為止。一個(gè)新問題的產(chǎn)生，不知不覺地就將學(xué)生的視線拉向了更小的單位（角、分），“小數(shù)”呼之欲出，思維由此被激活，探究成了學(xué)生的內(nèi)在需求。

二、無路處引路

近代教育家陶行知曾說：“教師之為教，不在全盤授予，而在相機(jī)誘導(dǎo)?！薄胺矠榻?，目的在于達(dá)到不需要教。”引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，并自主分析，解決問題，是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，也是歸宿。學(xué)生不是一個(gè)將要填滿的容器，而是一支等待點(diǎn)燃的火把。只有把他們內(nèi)在的學(xué)習(xí)動力、潛能激發(fā)出來，他們的成長才具有生命的意義，如種子一般生根，發(fā)芽，開花，結(jié)果。

【片段二】

師：她（生1）寫了半天，又劃掉了（如下圖）。誰懂她？

生2：她是把1元換成10角，10角除以4，每人2角，還是有余數(shù)，還是不好分。

生1：你理解我的意思。

師：你最懂她。先說這件事（把1元換成10角），我有沒有告訴她？

生（眾）：沒有。

師：（對著生1）特別巧，咱倆想到一塊兒去了。這是10角，你來分一分。

（生1把10角分給4個(gè)人，每人2角，還剩2角。）

師：又出事了。出什么事了呢？

生1：剩下的不夠分了。

師：所以這個(gè)時(shí)候，你怎么辦？

生1：我把寫的全劃掉了。

師：那么這個(gè)2角怎么辦呢？

生3：2角還可以換成20分。

生1：我知道了，20÷4=5（分），每人再分5分。

師：你特別想說什么？

生1：我想說，我遇到了困難沒有去解決，不像這個(gè)同學(xué)遇到了困難就仔細(xì)去想，以后我也要這樣。

師：做著做著出現(xiàn)了新問題，這個(gè)時(shí)候不要害怕，沒關(guān)系，我們順著這個(gè)思路慢慢去解決。

【賞析】一個(gè)學(xué)生在求解的過程中遇到了障礙，她本能地放棄了，她自認(rèn)這不是一件光彩的事，想躲卻沒躲成，還被教師亮了相，多丟人??！聽課的教師也是一驚，為了成就教師的出彩而無視當(dāng)事學(xué)生的感受，這不應(yīng)該是有情懷的教師所為啊！可隨著后續(xù)交流的開展，我們明白了教師的真正用意。把1元換成10角，這是重大的創(chuàng)舉，教師大力表揚(yáng)，先找她的“同盟軍”，再把自己加進(jìn)去說“咱倆想到一塊兒去了”，并提供材料讓她分一分，讓她盡情享受成功的樂趣（雖然她先前沒有意識到）。然后話鋒一轉(zhuǎn)，指出學(xué)生劃掉答案的內(nèi)在想法，并求助“這個(gè)2角怎么辦呢”。經(jīng)別人提醒后，學(xué)生迅速找到了下一步解題的方法。她明顯感覺到這其實(shí)就是自己上一步方法的延續(xù)，1元不夠分換成“角”，2角不夠分再換成“分”，這種頓悟是何等珍貴?。「鼮榫实氖?，教師還讓學(xué)生發(fā)表感想，“以后我也要這樣”雖是只言片語，但影響深遠(yuǎn)。在這里，學(xué)習(xí)某個(gè)具體的知識不再是唯一目標(biāo)，獲得分析、解決所有問題的普適性策略成了至上追求。沒事找事，跳出數(shù)學(xué)教數(shù)學(xué)，為學(xué)生的終身發(fā)展奠基，這是我們所有教育者都應(yīng)具有的情懷。

三、無知時(shí)致知

對學(xué)生來說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要目的就是要學(xué)會數(shù)學(xué)思考。對教師來說，數(shù)學(xué)教學(xué)的思考應(yīng)當(dāng)從邏輯的、歷史的、關(guān)系的等方面去展開，教給學(xué)生科學(xué)的思維方式與思維習(xí)慣，讓學(xué)生去體悟數(shù)學(xué)的智慧與美。課堂中，當(dāng)學(xué)生沒能明晰知識的內(nèi)涵時(shí)，我們要適時(shí)地“沒事找事”，格物致知，讓他們在已有問題解決的基礎(chǔ)上提升認(rèn)識。

【片段三】

師：每個(gè)人應(yīng)付多少錢？

生（眾）：24元2角5分。

師：這里面還有事嗎？解決了嗎？

（學(xué)生面面相覷，似乎提不出問題了。）

師：那以后凡是花錢的事，我們就畫一畫、分一分，可以嗎？

生1：不方便，麻煩。

師：這不就是事嗎？學(xué)習(xí)之中總得有新的事！你們想怎么解決？

生2：把分的過程合在一個(gè)豎式里。

（學(xué)生根據(jù)整數(shù)除法列豎式的經(jīng)驗(yàn)，補(bǔ)充成下圖。）

師：看到這個(gè)豎式，你們有新的事嗎？

生3：容易看成是“2425”元。

師：怎么辦呢？

生（眾）：點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。

師：點(diǎn)在哪兒呢？

（學(xué)生根據(jù)元、角、分的意義把上圖調(diào)整為下圖。）

師：小數(shù)點(diǎn)為什么要點(diǎn)在這兒呢？

……

【賞析】從解決問題的角度看，當(dāng)學(xué)生得出“24元2角5分”時(shí)，已經(jīng)算是解決了問題。但這顯然不是數(shù)學(xué)教學(xué)的真正目的，數(shù)學(xué)課不是為了解決問題而解決問題，而是以解決問題為載體，讓學(xué)生在一系列的觀察、探究、嘗試、抽象、推理、驗(yàn)證等活動中，獲得數(shù)學(xué)知識的擴(kuò)充、能力的提升，以及素養(yǎng)的達(dá)成。數(shù)學(xué)是思維的體操，以形式化的符號語言呈現(xiàn)思維結(jié)果。算法是直觀的，但算理卻是抽象的，是高階思維的集中體現(xiàn)，小數(shù)除法的計(jì)算最終必須落實(shí)到抽象的豎式之中。借助“元、角、分”情境，學(xué)生感悟到了“當(dāng)有余數(shù)時(shí)，可以換成小一點(diǎn)兒的單位再繼續(xù)除”，這是后續(xù)理性認(rèn)識的基礎(chǔ)。緊接著，教師引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去反思。以后分錢，全部用操作（分、畫）的方法嗎？豎式中的結(jié)果會被當(dāng)成整數(shù)，怎么辦？豎式內(nèi)部的小數(shù)點(diǎn)有沒有必要加？沒有了元、角、分，怎么思考97÷4？問題一個(gè)接著一個(gè)，在不斷“找事”及解決問題的過程中，學(xué)生的思維一步步實(shí)現(xiàn)了由前運(yùn)算到具體運(yùn)算，再到形式運(yùn)算的遞進(jìn)。

（作者單位：浙江省寧波濱海國際合作學(xué)校）