探源：讓學生深度參與知識的建構過程

楊傳岡

【教學內容】

義務教育教科書蘇教版四年級數學下冊第55～56頁。

【教材分析】

運算律是小學數學中唯一以定律方式呈現的數學內容，運算律是數學運算中的規律，是數學運算的通性。在小學數學教學中，計算教學在前，運算律教學在后，計算方法不從運算律推出主要是考慮到學生年齡與智力發展的階段性特點。不過，在教學運算律以后，如果再認識計算法則，學生反而會有更深一層的理解。本課教學加法交換律和結合律，教學中不僅要解釋數學規律，更要關注學生的數學思考。考慮到學生的活動經驗基礎，可以先教學交換律，再教學結合律。

【教學目標】

1.讓學生經歷探索加法運算律的過程，理解并掌握加法運算律，初步感知應用加法交換律和結合律可以使一些計算更簡便。

2.在探索運算律的過程中，發展分析、比較、抽象、概括能力，培養學生的符號感。滲透初步的代數思想，體會“變”與“不變”的辯證思想。

3.在探究過程中獲得樂趣，體悟成功，進一步增強學生對數學學習的興趣和信心。

【教學重點、難點】

重點：探索加法運算律并學會運用。

難點：加法運算律的建模。

【設計理念】

1.在知識理解掌握上強調任務牽引，聯系實際，貼近學情，從學生司空見慣之處入手;在知識學習上注重引導學生經歷科學的數學探究過程，從大量計算現象中歸納規律，體會“變”與“不變”的辯證思想。

2.在價值追尋上強調數學味，讓學生學真正的數學，體察“大道至簡”之美。教學側重點放在引領學生經歷運算律的形成過程，以“猜想—驗證—結論”為路徑。

3.在難點破解之處強調創新，緊扣難點，創造性使用數形結合思想直抵知識內核，于知識的生發、生長過程中層層剝筍，于細微之處的思辨、追問中，不斷建構加法運算律的清晰認知，讓學生領略到數學建模的方法以及符號化的模型表達方式。

【教學過程】

一、故事引入，學習加法交換律

1.研究實例

師：同學們喜歡聽故事嗎？今天老師給大家帶來了一個故事，名字叫《朝三暮四》。（播放動畫片）

師：你們為什么笑？

師：猴子們每天分得的桃子如愿增加了嗎？從數學的角度，你想說什么？

師：你能用一個等式說明問題嗎？

（教師板書：3+4=4+3）

2.大膽猜想

（1）引導觀察

師：觀察這個等式，等式兩邊有什么相同和不同？

教師根據學生發言，重點抓住“兩個數，位置不同，和不變”這些特征。

師：像這樣的等式，還有嗎？你也能說出一些嗎？

學生自主舉例，教師隨機選擇不同數域的例子板書。

（2）引發猜想

師：通過這些例子，你有什么大膽的猜想？

教師引導學生抓住“兩個數，交換位置，和不變”等關鍵信息。

3.科學驗證

（1）合情推理

師：如果給你足夠的時間，你還能寫出多少組這樣的等式？

（2）搜索反例

師：交換兩個加數的位置，和一定不會發生變化嗎？

師：你是怎樣想的？

生：兩個數大小不變，交換位置，和不會發生變化。

師：想得真好，說得真棒，數學家們也是這樣思考的。

4.提煉結論

（1）揭示規律

師：看來，“交換兩個加數的位置，和不變”確實是一條規律。這就是加法交換律，交換的是加數的位置。

（2）字母表達

師：你能用更簡潔的方式表示出這條規律嗎？

生：△+○=○+△，a+b=b+a，甲數+乙數=乙數+甲數……

師：同學們太厲害了，用多種方法表示出了加法交換律。在數學上，人們習慣用字母a+b=b+a來表示加法交換律。

師：文字表述和字母表示法，你更愿意記哪一種？

師：那就讓字母表示法在我們的大腦中飛一會兒，大家記住了嗎？

師：大家這么快就能記住用字母表示加法交換律，說明用字母表示的確更簡捷。

5.知識內化

（1）整體建構

師：其實這條規律我們早就在使用，一年級剛入學就學習了數的分成，同一個加法問題用兩種算式解答，二年級時交換加數位置進行驗算，這些都運用了加法交換律。

（2）生活運用

師：生活中這樣的例子真不少。看圖1，這是我校四（1）班大課間活動的場景。你能從中獲得哪些信息？根據信息又能提出哪些問題？

生：跳繩的有多少人？女生有多少人？參加活動的一共有多少人？

師：一共有多少同學在跳繩，該如何列式呢？

教師根據學生回答列式：17+28，28+17。

師：如果不計算，你知道這兩個算式的結果相等嗎？

生：因為求的是同一個問題，結果一定相等。

（教師板書：17+28=28+17）

（3）數形結合

6.遷移拓展

（1）學法建構

回顧剛才得到規律的過程，我們從幾個例子的觀察中產生猜想，然后用舉例、說理、畫圖的方法逐步驗證，最終得出結論，這可是科學研究的一種好方法。

（2）新的猜想

師：剛才我們探究的是兩個加數之間的規律，那么三個加數之間有沒有規律呢？如果有，你打算怎樣探究呢？

設計說明：教學中，教師采用學生感興趣的故事引入新課，既有效激發學生的參與熱情，同時也讓學生意識到變化中的不變，自然引出全課的研究主題——運算律。從生活實際問題中引出問題，提出猜想之后，進行深入求證，在求證的基礎上提煉加法交換律，學會用字母表達規律，在此基礎上聯系前面所學知識進行整體建構，著力讓學生經歷數學知識的產生過程。整個學習過程遵循學生的認知發展規律，讓學生通過數學的方法來學習數學，鍛煉學生的數學思考力，發展邏輯思維能力。為了幫助學生突破理解的難點，教師創造性地用數形結合的思想方法幫助學生建構交換律的本質意義，從而逼近知識內核。

二、舉一反三，探索結合律

1.實際探索

（1）例題呈現

根據圖1回答問題：求參加活動的一共有多少人，可以先算什么？你打算怎樣列式？也可以先算什么？

[根據學生回答在黑板上板書算式：（28+17）+23=28+（17+23）]

①猜想：猜想一下，這兩個算式的和相等嗎？相等的理由是什么？（都算的是參加活動人數，總人數不變。）

②計算：實踐出真知，動筆算一算，看看是否會相等？第一、第二小組算左邊的算式，第三、第四小組算右邊的算式。

③結論：等式左右兩邊的和相等，現在我們就用等號來連接每一個算式。

（2）自主驗證

①問題提出：是不是任意三個數按照這樣的方式相加，和都不變呢？你能按照剛才的學習方法，先舉例再驗證，繼續研究嗎？

②學法指導（PPT呈現）

③學生活動

成果展示：以小組為單位將本組舉例結果貼于黑板上。

交流驗證：一起來檢驗黑板上的例子，看看每個等式兩邊的和都相等嗎？

（3）抽象提煉

師：老師這兒也有一個例子：（甲+乙）+丙○甲+（乙+丙），你認為○里能填等號嗎？

生：能。

師：這個等式能代表剛才同學們所舉的所有等式嗎？

生：不能。

師：這個等式是不是只能代表剛才所舉的這些等式？

生：是。

師：像這樣的例子，你還能舉出多少？

師（小結）：看來，這個等式的確可以代表一個數學規律，你能用自己的話說一說這個規律嗎？

2.呈現規律

①揭示規律：三個數相加，可以先把前兩個數相加，再同第三個數相加，或者先把后兩個數相加，再同第一個數相加，它們的“和不變”，這就是加法結合律。

②字母表達：如果用字母a、b、c分別表示三個數，你能用字母簡潔地表示出這個規律嗎？

學生自我嘗試、展示，教師規范并板書：（a+b）+c=a+（b+c） 。

3.數形結合

師：除了計算、說理，也可以用畫圖的方法說明，對于男生跳繩的人數、女生跳繩的人數、女生踢毽子的人數，我們可以先算什么？再算什么？（PPT演示過程）

4.整體建構

師：和加法交換律一樣，我們也熟悉加法結合律，在學習湊十法、加法口算時就用了這個規律。（PPT呈現）

師：加法交換律和加法結合律可以統稱為加法運算律，現在你能運用學到的知識解決一些問題嗎？

設計說明：教學加法結合律時，教師充分領悟編者的意圖，給予學生充足的探索時空，倡導學生自主設計學習、自主開展研究性學習、自主展示學習成果、自主應用研究成果。學生以加法結合律規律探尋為任務牽引，以加法交換律學習過程中提煉的方法為模型，通過教師導學、個體獨學、小組共學，最終實現加法結合律從現象到本質的深度認知。

三、效度檢測，深化運算律

1.說一說

說說下面的等式各應用了什么運算律：

82+8=8+82

（84+68）+32=84+（68+32）

2.比一比

師：今天學習了加法交換律和加法結合律。想一想，這兩個運算律之間有什么相同點和不同點？（梳理完善表格）

3.填一填

19+35=35+□ 101+a=□+101 c+□=□+c

（33+57）+43=33+（□+□）

120+（180+36）=（120+□）+□

設計說明：教學中，教師通過兩種加法運算律的異同點梳理、對比，深化學生對加法運算律“變”與“不變”的理解，使學生對運算律的認知從感性走向理性，幫助學生整體建構加法運算律。輔以適量的梯度練習，讓學生在基礎練習、提高練習、開放練習的解決中細細體悟加法運算律。讓學生在思考、討論、交流中理解“三個數相加，任意交換加數的位置，和不變”，教師適時將加法的個數推廣到任意多個，從而讓學習過程更有深度、更有整體感。

四、回顧整理，拓展運算律

師：通過今天的學習，你有什么收獲？今天我們采用的研究方法是什么？

師：今天學習了加法的交換律、結合律，關于減法、乘法、除法，你現在有沒有一個更大膽的設想？如果有，請你按照今天的研究方法，課后自己去研究，也可以小組合作研究，研究成果可以發到老師的郵箱，也可以和老師當面交流。

設計說明：學習方法是數學教學的重要任務之一，正所謂“授人以魚，不如授人以漁”。在整理環節中，教師要讓學生交流課堂學習心得，引導、幫助學生對新知進行結構化梳理，還要因勢利導，鼓勵學生大膽說出關于減法、除法運算律的設想，并引導學生課后用本節課學到的方法進行研究性學習，學會自主學習。

（作者單位：江蘇省鹽城市第二小學）