對數學思考工具的應用價值和策略的實踐與思考

郝國強

【摘要】數學思考工具，是指為了促進學生進行思考而研發的一些工具。這些工具有助于直觀或物化地促進學生思考，具體表現形式有很多，比如表格就是其中一種。本文旨在從數學工具應用價值和應用方法兩個維度對數學思考工具——表格的運用進行細致的闡述，希望對廣大一線教師有一定幫助。

【關鍵詞】小學數學 思考工具 思考能力

在古代，很少有應用工具，而到了現代社會，智能工具則越來越多，極大地促進了當今社會的發展進程。數學思考工具的作用同其他工具一樣，是十分強大的，它能夠讓學生更加直觀地理解數學知識。因此，恰當地運用數學思考工具，能夠有效地培養學生的數學思考能力和解決問題的能力。

一、對思考工具的應用價值分析

1.教學難點不再是難點

數學教學中存在很多難點，如果僅僅是依靠教師語言上的講解或者肢體上的表達，其實很難讓學生們感同身受，其原因在于：學生的知識接受能力不足，學生思考問題的方式存在潛在異化。此時，如果憑借數學思考工具，引導學生來看一眼、想一下，具體操作起來，借助工具在思考的關鍵點得到實質性突破，這便是數學思考工具的魅力。

例如，蘇教版數學四年級下冊課文中就有很多這樣的章節，本文就以“在方格紙上旋轉簡單圖形”這一課為例進行闡述。在該章節中，學生們常常會覺得“難”，覺得費解，因為他們即使按照“先找出旋轉中心，再找到與中心點相連的兩條邊，然后依次按要求旋轉”這樣的方式來做，也很難正確領悟。如果這個時候，教師給學生們提供一根牙簽，將牙簽當做旋轉的工具，那么就會簡單而直觀起來。經過應用“牙簽”的直接操作，學生們將會快速而直觀地掌握該章節，讓學生的難題不再“難”。

2.深度思考可能性提升

蘇霍姆林斯基曾經說過：手使腦得到發展，使它更加明智;腦使手得到發展，使它變成思維的工具和鏡子。因此，學生們在學習中主動學習十分重要，因為在主動學習中，學生的各個感官能夠同時發揮作用，而不是局部或者是單一的效用。數學思考工具可以做到這一點，這也是深度思考可能性獲得提升的前提。即數學思考工具可以促進學生從實物到圖形再到符號的這樣一個思考過程，這一過程中思考是無縫且深入的，這是一個具象到抽象的過程，是促進學生從知其然到知其所以然的過程，這便是深度思考。因此，利用數學工具，可以調動學生深度思考的學習細胞。

3.數學思想便于滲透

數學思想是一種思維的展現，數學思維培養起來了，將極大促進學生在數學領域獲得成功。數學思考工具的意義就在于，學生能夠深入地、漸進地理解數學本質，積極地獲取數學知識，客觀地獲得數學啟示。在這其中就根植了數學思想。

例如，學生在觀察數學表格數據時，一方面可以發現數學規律，另一方面還能發現函數思想;又如，學生在學習數軸章節時，一方面可以了解數與數之間的數軸表達，另一方面還能根植數形結合思想的種子。凡此種種，都是數學工具所能帶來的巨大好處。因此，數學思想便在數學工具的應用下潛移默化地形成了。

二、以表格為例談數學思考工具的應用策略

數學思考工具，有很多種類，本文也不可能一一窮盡。本文將以“表格”的應用來做典型闡述。眾所周知，數學思考工具最終是要應用起來才能有用。因此，教師應當在合適的時機將數學思考工具予以展現，引導學生運用數學工具提升教學成果。下面，將結合筆者在教學中一些實際案例，談一談在教學中如何運用思考工具之一——表格，供大家進行研究和思考。

在教學蘇教版數學五年級上冊有關內容時，有很多章節是可以運用表格的，比如在“用列舉的策略解決實際問題”這一章節中，教師可以提問：如果五個球隊進行比賽，注意是循環賽，那么他們將打多少場比賽。該問題一提出，很多學生便感覺到其中的難度，難度體現在你不能一口氣給出答案，你必須要借助數學工具。教師接下來將組織一場數學活動，采用數學思考工具——表格，引導學生不斷深入思考并獲取答案，在該活動中，有幾個環節，具體如下：

1.類比提出類似問題，拔出“表格”之劍

教師可以引導學生們思考一些比較“近”的實例，比如學校馬上要舉行象棋小組循環賽，如果有3人比，要比多少場，如果有4人比，要比多少場，如果有5人比，要比多少場。隨著學生逐步給出結果，可以進一步提高難度，如果有20人比，要比多少場呢。你還要用口算或者上面同樣的方法解答這個問題嗎？進而拋出數學本質：這其實是一個人數與場次的關系表，只要利用表格找出其中規律，該問題便可獲得解決。在學生思考過后，教師可以列出相應表格進行分析，進而找出剛才提示的“規律”。

通過該表格，可以逐漸引導學生觸摸規律，它是一種動態變量與動態變量之間必然的相互關系，找準規律后，如果一個動態變量變動了，據此規律就能知曉另外一個動態變量的變化。思考角度確立后，學生的思考深度和思考寬度將無限放大。

2.進一步引導思考，破除“表格”規律

其實在回答上述問題的時候，每個學生的解答方法都可以不同，有的學生可以用圖形，有的學生可以用連線，有的可以用表格，有的甚至可以用公式。在我們確定表格之后，接下來就提問，誰能找到此種規律。此時通過思考，學優生會給出答案：最后的比賽場次是“n×（n一1）÷2”，并進一步解釋說：n代表的是多少人參加。比如，有10人參加，那么最終的場次是“10×9÷2=45”。這是因為，10表示有10人要參加比賽，然后每個人只能比賽9場，不僅如此，每次還重復計算了一次，這也是除以2的由來。這是學優生帶來的思考，但是僅僅如此教授，也是不行的，因為很多學中生或學差生是不理解的，這個時候，就要亮出數學工具：表格，具體如下：

畫出此表格后，需要進一步解釋：斜線劃出來的意思是，每個人是不能和自己比賽的，還有一點，由于斜線的存在，表達了除于2的存在，因為斜線的上面和下面實質上是一場重復的比賽，不需要累計計算，所以要進行排除。通過這樣的解釋，很多學生會豁然開朗，思維維度將得以拓展并進行深化。

3.深入拓展，尋找“表格”帶來的深度思考

此處的深度思考即為不同的思考方式。比如在解答上面這道題目的時候，其實有兩種不同的考量，第一種是1+2+3+……+（n一1），第二種則是nx（n-1）÷2。學生會好奇，這兩種解答方式有什么不同呢，有什么思考差別的地方？教師順著學生提問，就可以將該兩種方式進行對比，尋找上面兩種規律的不同，進而將其中規律建立聯系，從而讓學生的認知不斷提高。

4.乘勝追擊，給出“表格”解題的課后實踐

數學是一門實踐課程，僅僅在課堂上進行表達是不夠的，這需要教師培養學生舉一反三的能力。教師可以提出問題：還有哪些題目是可以用表格來處理的？利用表格我們要找出什么規律？規律能找出來嗎？是怎樣的？你如何來編寫一個類似的數學題目，讓其他同學來解答？這當然可以作為一個課后的作業，也可以要求學生們采取不同的形式來進行完成，最終的目的只有一個：靈活運用數學工具，盡可能提升數學思維。

總之，靈活運用數學思考工具，能給課堂帶來意想不到的收獲。數學工具的運用，尤其是表格的運用，能夠將問題活躍在“眼前”，達到在“眼前”找規律的效果，進而引導學生尋找“眼背后的規律”。此種教學方法，可以將部分課堂還原給學生，促進學生思考，從而拓展學生思維維度，進一步提高教學效率。

【參考文獻】

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