中小學數學中的無字證明

梁凝湘 曹婉盈 吳淑娜

【摘要】中小學中部分重要定理的證明過程，對中小學生來說，顯得相對枯燥難以理解.無字證明是幫助學生更好地理解、消化定理的一個較優方法.本文主要列舉了基本不等式以及由基本不等式的拓展不等式鏈的無字證明.

【關鍵詞】中小學;無字證明;不等式;不等式鏈

【基金項目】廣東省大學生創新創業訓練計劃項目（201811847121）.

無字證明即無需言語的證明，指只用圖像或再僅加以一兩個式子幫助解釋就能不證自明的數學命題.很多情況下，幾何模型可以用來輔助枯燥沉悶的證明，而且簡單優美的無字證明甚至能夠在瞬間就看到定理的真相.但是，無字證明并不是嚴格的證明，它只代表了個別特殊的情況，適合用來幫助學生理解所學定理，并能很好地鍛煉學生的數學抽象、直觀想象能力.

本文主要討論了基本不等式以及由此延伸出來的不等式鏈，并將嚴格證明與無字證明進行了簡單的對比說明.

一、基本不等式a+b 2≥ab

《普通高中課程標準實驗教科書·數學·選修4-5》上的證明[1]利用重要不等式a2+b2≥2ab，對a+b進行簡單變形.因為

a+b=（a）2+（b）2≥2a·b=2ab，

所以a+b 2≥ab，

當且僅當a=b，即a=b時，等號成立.

教材所使用證明方法并不復雜，其證明過程容易理解，但是，在進行嚴格證明之前，a+b 2與ab的大小關系，卻并不能輕易看出來，而若利用無字證明，則會顯得更為直觀，能瞬間比較出a+b 2與ab的大小關系.

作一個半圓，令該半圓的半徑EO的長度為a+b 2，并在直徑AC上取一點B，使CB=b，過點B作垂線交半圓于點D.根據△ABD∽△DBC，有AB DB=DB BC，由此可求出DB的長度等于ab，又因為EO≥DB，所以有a+b 2=ab.當點B與點O重合時，有a+b 2=ab.

二、不等式鏈

在基本不等式的應用中，往往不止上述所提，時常會用到以下這一不等式鏈[2]：

a2+b2 a+b>a2+b2 2>a+b 2>ab>2ab a+b.（1）

若以一般的文字證明，證明過程如下：

當a≠b≠0時，則有（a-b）2>0，即

a2+b2>2ab.（2）

1.ab>2ab a+b：

在（2）式兩邊同時加上2ab，則（a+b）2>4ab.

不等式兩邊同時乘ab，且因為a≠b≠0，所以（a+b）2≠0，不等式兩邊同時除以（a+b）2，則有

ab>4a2b2 （a+b）2.

因為不等式兩邊皆大于零，兩邊同時開方，則有

ab>2ab a+b.

2.a+b 2>ab：

此不等式，在上面已經證明過，當a≠b≠0，等號不取，即證.

3.a2+b2 2>a+b 2：

在（2）式兩邊同時除以4，則有

a2+b2 4>ab 2.

再在上式不等號兩邊同時加上a2+b2 4，則有

a2+b2 2>（a+b）2 4.

因為a≠b≠0，可知與前面的問題類似，則有

a2+b2 2>a+b 2.

4.a2+b2 a+b>a2+b2 2：

在（2）式的不等號兩邊同時乘a2+b2，則有

（a2+b2）2>2ab（a2+b2）.

兩邊再同時加上（a2+b2）2，則有

2（a2+b2）2>（a+b）2（a2+b2）.

對不等號兩邊同時除以2（a+b）2，則有

（a2+b2）2 （a+b）2>a2+b2 2.

最后對不等號兩邊同時開方，得

a2+b2 a+b>a2+b2 2.

由上述證明過程可見，若要將不等式鏈（1）一一證明出來，過程十分煩瑣復雜，但若通過無字證明，以函數曲線交點的橫坐標（圖2）將這一組不等式鏈表現出來，則能在同一個坐標系中，快速判斷出這一組不等式的大小關系.

1.利用給定的a，b，可以作三條曲線：x+y=a+b，xy=ab，x2+y2=a2+b2.這三條線與x=y的交點分別為點A、點G、點R，而這三點的橫坐標恰好就是ama+b 2，gm（ab），rmsa2+b2 2.

2.利用曲線x2+y2=a2+b2與直線x=y的交點R，作曲線xy=a2+b2 2.

3.由圖2，縱坐標為a+b 2（即am）的點H、點C等等，但當取曲線xy=ab上的點H，其橫坐標是hm2ab a+b;取曲線xy=a2+b2 2上的點C，其橫坐標是cma2+b2 a+b.

由圖2可知，這些橫坐標之間有這樣的關系：cm>rms>am>gm>hm，即a2+b2 a+b>a2+b2 2>a+b 2>ab>2ab a+b.

無字證明最大的特點便是其簡潔直觀性，一些看似難以理解的定理，能通過一個圖或一組圖，再配以少許簡單式子就可以將定理說明白.將無字證明用于中小學課堂上，能讓數學課堂變得更加生動有趣，也讓學生更容易消化理解相對枯燥的定理，甚至能開拓學生創新思維，體會到數學的趣味，能很好地發展學生的幾何直觀、推理能力、創新意識.

【參考文獻】

[1]Roger B.Nelsen.數學寫真集（第1季）無需語言的證明[M].北京：機械工業出版社，2014：49.

[2]Roger B.Nelsen.數學寫真集（第1季）無需語言的證明[M].北京：機械工業出版社，2014：56-57.