矩陣的秩的三種常見的應用

謝毅 徐聰

【摘要】分別從向量組的定性、求線性方程組的解的結構以及判定矩陣行（列）空間的基和維數三方面給出矩陣的秩的三種常見的應用.

【關鍵詞】矩陣的秩;向量組;線性方程組的解的結構;矩陣的行（列）空間;應用.

一、引 言

矩陣的秩是矩陣的核心內容，是動態研究矩陣的根本所在.矩陣的秩應用性十分廣泛，尤其是在判定向量組的線性相關性，求解方程組的解的結構以及判定矩陣行（列）空間的基和維數上的應用更為常見，本文給出矩陣的秩在這三方面的應用.

定理1 向量組a1，a2，…，am線性相關的充要條件是它所構成的矩陣A =（a1，a2，…，am）的秩小于向量的個數m;向量組線性無關的充要條件是R（A ）=m.

定義1 齊次線性方程組的解集的最大無關組稱為該齊次線性方程組的基礎解系.

定理2 設m×n矩陣A 的秩R（A ）=r，則n元齊次線性方程組A x=0的解集S的秩RS=n-r.

性質1 設x= SymbolhA@ 是方程非齊次線性方程組的解，x= SymbolxA@ 是該非齊次線性方程組生成的齊次線性方程組的解，則x=SymbolxA@ + SymbolhA@ 仍是該非齊次線性方程組的解.

注 非齊次方程組的通解=對應的其次方程組的通解+非齊次方程組的一個特解.

定義2 矩陣A 的列向量組的秩稱為A 的列秩;A 的行向量組的秩稱為A 的行秩.矩陣A 的列秩等于A 的列空間的維數，A 的行秩等于A 的行空間的維數.

二、在判定向量組的線性相關性上的應用

例1 討論下列向量組的線性相關性.

矩陣B 的第1，2，3列的列向量的秩是3，所以矩陣A 的列空間的基是由矩陣A 的第1，2，3列的列向量構成.R（A ）=3，所以矩陣A 的行空間的維數等于列空間的維數3.

五、結 語

作為矩陣的核心內容，矩陣的秩廣泛應用于行列式、向量組、線性方程組、特征值等知識點中，以判定、求解和證明為主要形式出現在其中，是線性代數知識體系的樞紐.把握好矩陣的秩與其他知識點交叉的定理推論是其運用的關鍵.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.工程數學·線性代數：第6版[M].北京：高等教育出版社，2014：97-103，88.

[2]丘維聲.高等代數（上冊）[M].北京：清華大學出版社，2010：109-114.